题目内容

【题目】(10分)已知ABC和ADE是等腰直角三角形,ACB=ADE=90°,点F为BE中点,连结DF、CF.

(1)如图1, 当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF、CF的数量关系位置关系(不证明);

(2)如图2,在(1)的条件下ADE绕点A顺时针旋转45°时,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断

(3)如图3在(1)的条件下ADE绕点A顺时针旋转90°时,若AD=1,AC=,求此时线段CF的长(直接写出结果).

【答案】(1)相等和垂直;(2)成立,理由见试题解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF,根据DFE=2DCF,BFE=2BCF,得到EFD+EFB=2DCB=90°,DFBF.

(2)延长DF交BC于点G,先证明DEF≌△GCF,得到DE=CG,DF=FG,根据AD=DE,AB=BC,得到BD=BG又因为ABC=90°,所以DF=CF且DFBF.

(3)延长DF交BA于点H,先证明DEF≌△HBF,得到DE=BH,DF=FH,根据旋转条件可以ADH为直角三角形,由ABC和ADE是等腰直角三角形,AC=,可以求出AB的值,进而可以根据勾股定理可以求出DH,再求出DF,由DF=BF,求出得CF的值.

试题解析:(1)∵∠ACB=ADE=90°,点F为BE中点,DF=BE,CF=BE,DF=CF.

∵△ABC和ADE是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°

BF=DF,∴∠DBF=BDF,

∵∠DFE=ABE+BDF,∴∠DFE=2DBF,

同理得:CFE=2CBF,

∴∠EFD+EFC=2DBF+2CBF=2ABC=90°,DF=CF,且DFCF.

(2)(1)中的结论仍然成立.

证明:如图,此时点D落在AC上,延长DF交BC于点G.

∵∠ADE=ACB=90°,DEBC.∴∠DEF=GBF,EDF=BGF.

F为BE中点,EF=BF.∴△DEF≌△GBF.DE=GB,DF=GF.

AD=DE,AD=GB,

AC=BC,AC﹣AD=BC﹣GB,DC=GC.

∵∠ACB=90°,∴△DCG是等腰直角三角形,

DF=GFDF=CF,DFCF.

(3)延长DF交BA于点H,

∵△ABC和ADE是等腰直角三角形,AC=BC,AD=DE.∴∠AED=ABC=45°,

由旋转可以得出,CAE=BAD=90°,

AEBC,∴∠AEB=CBE,∴∠DEF=HBF.

F是BE的中点,EF=BF,∴△DEF≌△HBF,ED=HB,

AC=,在RtABC中,由勾股定理,得AB=4,

AD=1,ED=BH=1,AH=3,在RtHAD中由勾股定理,得DH=

DF=CF=线段CF的长为

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