题目内容
【题目】(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,连结DF、CF.
(1)如图1, 当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系(不用证明);
(2)如图2,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
(3)如图3,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时,若AD=1,AC=,求此时线段CF的长(直接写出结果).
【答案】(1)相等和垂直;(2)成立,理由见试题解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF,根据∠DFE=2∠DCF,∠BFE=2∠BCF,得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°,DF⊥BF.
(2)延长DF交BC于点G,先证明△DEF≌△GCF,得到DE=CG,DF=FG,根据AD=DE,AB=BC,得到BD=BG又因为∠ABC=90°,所以DF=CF且DF⊥BF.
(3)延长DF交BA于点H,先证明△DEF≌△HBF,得到DE=BH,DF=FH,根据旋转条件可以△ADH为直角三角形,由△ABC和△ADE是等腰直角三角形,AC=,可以求出AB的值,进而可以根据勾股定理可以求出DH,再求出DF,由DF=BF,求出得CF的值.
试题解析:(1)∵∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,∴DF=BE,CF=BE,∴DF=CF.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,
∵BF=DF,∴∠DBF=∠BDF,
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF,∴∠DFE=2∠DBF,
同理得:∠CFE=2∠CBF,
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°,∴DF=CF,且DF⊥CF.
(2)(1)中的结论仍然成立.
证明:如图,此时点D落在AC上,延长DF交BC于点G.
∵∠ADE=∠ACB=90°,∴DE∥BC.∴∠DEF=∠GBF,∠EDF=∠BGF.
∵F为BE中点,∴EF=BF.∴△DEF≌△GBF.∴DE=GB,DF=GF.
∵AD=DE,∴AD=GB,
∵AC=BC,∴AC﹣AD=BC﹣GB,∴DC=GC.
∵∠ACB=90°,∴△DCG是等腰直角三角形,
∵DF=GF,∴DF=CF,DF⊥CF.
(3)延长DF交BA于点H,
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∴AC=BC,AD=DE.∴∠AED=∠ABC=45°,
∵由旋转可以得出,∠CAE=∠BAD=90°,
∵AE∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∴∠DEF=∠HBF.
∵F是BE的中点,∴EF=BF,∴△DEF≌△HBF,∴ED=HB,
∵AC=,在Rt△ABC中,由勾股定理,得:AB=4,
∵AD=1,∴ED=BH=1,∴AH=3,在Rt△HAD中由勾股定理,得:DH=,
∴DF=,∴CF=,∴线段CF的长为.
【题目】去年春季,蔬菜种植场在15公顷的大棚地里分别种植了茄子和西红柿,总费用是26.5万元.其中,种植茄子和西红柿每公顷的费用和每公顷获利情况如表:
每公顷费用(万元) | 每公顷获利(万元) | |
茄子 | 1.7 | 2.4 |
西红柿 | 1.8 | 2.6 |
请解答下列问题:
(1)求出茄子和西红柿的种植面积各为多少公顷?
(2)种植场在这一季共获利多少万元?