题目内容
【题目】如图,已知二次函数L1:y=ax2﹣2ax+a+3(a>0)和二次函数L2:y=﹣a(x+1)2+1
(a>0)图象的顶点分别为M,N,与y轴分别交于点E,F.
(1)函数y=ax2﹣2ax+a+3(a>0)的最小值为______,当二次函数L1,L2的y值同时随着x的增大而减小时,x的取值范围是______.
(2)当EF=MN时,求a的值,并判断四边形ENFM的形状(直接写出,不必证明).
(3)若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A(m,0),当△AMN为等腰三角形时,求方程﹣a(x+1)2+1=0的解.
【答案】(1)3;﹣1≤x≤1;(2)a=﹣1,四边形ENFM是矩形;(3)x1=﹣1,x2=﹣1﹣或x1=2,x2=﹣4.
【解析】试题分析:(1)把二次函数L1:y=ax2﹣2ax+a+3化成顶点式,即可求得最小值,分别求得二次函数L1,L2的y值随着x的增大而减小的x的取值,从而求得二次函数L1,L2的y值同时随着x的增大而减小时,x的取值范围;
(2)先求得E、F点的坐标,作MG⊥y轴于G,则MG=1,作NH⊥y轴于H,则NH=1,从而求得MG=NH=1,然后证得△EMG≌△FNH,∠MEF=∠NFE,EM=NF,进而证得EM∥NF,从而得出四边形ENFM是平行四边形;
(3)作MN的垂直平分线,交MN于D,交x轴于A,先求得D的坐标,继而求得MN的解析式,进而就可求得直线AD的解析式,令y=0,求得A的坐标,根据对称轴从而求得另一个交点的坐标,就可求得方程﹣a(x+1)2+1=0的解.
试题解析:(1)∵二次函数L1:y=ax2﹣2ax+a+3=a(x﹣1)2+3,
∴顶点M坐标为(1,3),∵a>0,∴函数y=ax2﹣2ax+a+3(a>0)的最小值为3,
∵二次函数L1的对称轴为x=1,当x<1时,y随x的增大而减小;
二次函数L2:y=﹣a(x+1)2+1的对称轴为x=﹣1,当x>﹣1时,y随x的增大而减小;
∴当二次函数L1,L2的y值同时随着x的增大而减小时,x的取值范围是﹣1≤x≤1;
故答案为:3,﹣1≤x≤1.
(2)由二次函数L1:y=ax2﹣2ax+a+3可知E(0,a+3),
由二次函数L2:y=﹣a(x+1)2+1=﹣a2x﹣2ax﹣a+1可知F(0,﹣a+1),
∵M(1,3),N(﹣1,1),
∴EF=MN==2,
∴a+3﹣(﹣a+1)=2,
∴a=﹣1,
作MG⊥y轴于G,则MG=1,作NH⊥y轴于H,则NH=1,
∴MG=NH=1,
∵EG=a+3﹣3=a,FH=1﹣(﹣a+1)=a,
∴EG=FH,
在△EMG和△FNH中,
,
∴△EMG≌△FNH(SAS),
∴∠MEF=∠NFE,EM=NF,
∴EM∥NF,
∴四边形ENFM是平行四边形;
∵EF=MN,
∴四边形ENFM是矩形;
(3)由△AMN为等腰三角形,可分为如下三种情况:
①如图2,当MN=NA=2时,过点N作ND⊥x轴,垂足为点D,则有ND=1,DA=m﹣(﹣1)=m+1,
在Rt△NDA中,NA2=DA2+ND2,即(2)2=(m+1)2+12,
∴m1=﹣1,m2=﹣﹣1(不合题意,舍去),
∴A(﹣1,0).
由抛物线y=﹣a(x+1)2+1(a>0)的对称轴为x=﹣1,
∴它与x轴的另一个交点坐标为(﹣1﹣,0).
∴方程﹣a(x+1)2+1=0的解为x1=﹣1,x2=﹣1﹣.
②如图3,当MA=NA时,过点M作MG⊥x轴,垂足为G,则有OG=1,MG=3,GA=|m﹣1|,
∴在Rt△MGA中,MA2=MG2+GA2,即MA2=32+(m﹣1)2,
又∵NA2=(m+1)2+12,
∴(m+1)2+12=32+(m﹣1)2,m=2,
∴A(2,0),
则抛物线y=﹣a(x+1)2+1(a>0)的左交点坐标为(﹣4,0),
∴方程﹣a(x+1)2+1=0的解为x1=2,x2=﹣4.
③当MN=MA时,32+(m﹣1)2=(2)2,
∴m无实数解,舍去.
综上所述,当△AMN为等腰三角形时,方程﹣a(x+1)2=0的解为
x1=﹣1,x2=﹣1﹣或x1=2,x2=﹣4.