题目内容

【题目】如图,已知二次函数L1y=ax2﹣2ax+a+3a0)和二次函数L2y=﹣ax+12+1

a0)图象的顶点分别为MN,与y轴分别交于点EF

1)函数y=ax2﹣2ax+a+3a0)的最小值为______,当二次函数L1L2y值同时随着x的增大而减小时,x的取值范围是______

2)当EF=MN时,求a的值,并判断四边形ENFM的形状(直接写出,不必证明).

3)若二次函数L2的图象与x轴的右交点为Am0),当△AMN为等腰三角形时,求方程﹣ax+12+1=0的解.

【答案】(1)3;﹣1≤x≤1;(2)a=1四边形ENFM是矩形;(3x1=1x2=1x1=2x2=4

【解析】试题分析:(1)把二次函数L1y=ax2﹣2ax+a+3化成顶点式,即可求得最小值,分别求得二次函数L1L2y值随着x的增大而减小的x的取值,从而求得二次函数L1L2y值同时随着x的增大而减小时,x的取值范围;

2)先求得EF点的坐标,作MG⊥y轴于G,则MG=1,作NH⊥y轴于H,则NH=1,从而求得MG=NH=1,然后证得△EMG≌△FNH∠MEF=∠NFEEM=NF,进而证得EM∥NF,从而得出四边形ENFM是平行四边形;

3)作MN的垂直平分线,交MND,交x轴于A,先求得D的坐标,继而求得MN的解析式,进而就可求得直线AD的解析式,令y=0,求得A的坐标,根据对称轴从而求得另一个交点的坐标,就可求得方程﹣ax+12+1=0的解.

试题解析:(1二次函数L1y=ax2﹣2ax+a+3=ax﹣12+3

顶点M坐标为(13),∵a0函数y=ax2﹣2ax+a+3a0)的最小值为3

二次函数L1的对称轴为x=1,当x1时,yx的增大而减小;

二次函数L2y=﹣ax+12+1的对称轴为x=﹣1,当x﹣1时,yx的增大而减小;

当二次函数L1L2y值同时随着x的增大而减小时,x的取值范围是﹣1≤x≤1

故答案为:3﹣1≤x≤1

2)由二次函数L1y=ax2﹣2ax+a+3可知E0a+3),

由二次函数L2y=﹣ax+12+1=﹣a2x﹣2ax﹣a+1可知F0﹣a+1),

∵M13),N﹣11),

∴EF=MN==2

∴a+3﹣﹣a+1=2

∴a=﹣1

MG⊥y轴于G,则MG=1,作NH⊥y轴于H,则NH=1

∴MG=NH=1

∵EG=a+3﹣3=aFH=1﹣﹣a+1=a

∴EG=FH

△EMG△FNH中,

∴△EMG≌△FNHSAS),

∴∠MEF=∠NFEEM=NF

∴EM∥NF

四边形ENFM是平行四边形;

∵EF=MN

四边形ENFM是矩形;

3)由△AMN为等腰三角形,可分为如下三种情况:

如图2,当MN=NA=2时,过点NND⊥x轴,垂足为点D,则有ND=1DA=m﹣﹣1=m+1

Rt△NDA中,NA2=DA2+ND2,即(22=m+12+12

∴m1=﹣1m2=﹣﹣1(不合题意,舍去),

∴A﹣10).

由抛物线y=﹣ax+12+1a0)的对称轴为x=﹣1

它与x轴的另一个交点坐标为(﹣1﹣0).

方程﹣ax+12+1=0的解为x1=﹣1x2=﹣1﹣

如图3,当MA=NA时,过点MMG⊥x轴,垂足为G,则有OG=1MG=3GA=|m﹣1|

Rt△MGA中,MA2=MG2+GA2,即MA2=32+m﹣12

∵NA2=m+12+12

m+12+12=32+m﹣12m=2

∴A20),

则抛物线y=﹣ax+12+1a0)的左交点坐标为(﹣40),

方程﹣ax+12+1=0的解为x1=2x2=﹣4

MN=MA时,32+m﹣12=22

∴m无实数解,舍去.

综上所述,当△AMN为等腰三角形时,方程﹣ax+12=0的解为

x1=﹣1x2=﹣1﹣x1=2x2=﹣4

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网