题目内容

(2003•绵阳)已知:如图,AB为⊙O的直径,C、D是半圆弧上的两点,E是AB上除O外的一点,AC与DE相交于F.①,②DE⊥AB,③AF=DF.
(1)写出“以①②③中的任意两个为条件,推出第三个(结论)”的一个正确命题,并加以证明;
(2)“以①②③中的任意两个为条件,推出笫三个(结论)”可以组成多少个正确的命题?(不必说明理由)

【答案】分析:本题中主要是用圆周角定理和等角的余角相等来求解,以①②为条件③为结论来举例,连接BD,AD,CD.那么根据圆周角定理我们可得出∠BDA=90°,∠ACD=∠DAC=∠CBD,根据要证AF=FD,那么就要证∠CAD=∠FDA,而∠FDA+∠BAD=90°=∠BAD+∠DBA,因此∠DBE=∠EDA,由于我们根据圆周角定理已经求得了∠DBA=∠CAD因此就可得出∠FDA=∠CAD,也就得出了AF=FD.其他的组合方法解题思路与这个都一样.
解答:解:(1)①②为条件,③为结论
证明:连接AD,CD,BD,CB.则∠BDA=90°
=
∴∠DCA=∠DAC=∠DBA,
∵∠DBA+∠DAE=90°,∠FDA+∠DAE=90°
∴∠FDA=∠DBA,
∴∠DBA=∠DAF=∠FDA
∴AF=FD.

(2)①②为条件,③为结论.
①③为条件,②为结论.
②③为条件,①为结论.
共三组.
点评:本题主要考查了圆周角定理的应用,根据圆周角得出相关的角相等或互余是解题的关键.
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