题目内容

【题目】如图,在RtABC中,∠ACB=90°AC=2BC=4,点D为边AB上一动点,DEACDFBC,垂足为EF. 连接EFCD.

1)求证:EFCD

2)当EF为何值时,EFAB

3)当四边形ECFD为正方形时,求EF的值.

【答案】1)证明见解析;(2;(3.

【解析】

1)根据已知条件可证明四边形的DECF是矩形,即可得证;

2)由勾股定理求得AB的值,再由三角形中位线定理求得EF的值;

3)当四边形ECFD为正方形时,证明AED∽△DFB求得正方形的边长,再由勾股定理求出EF的长即可.

1)∵DEACDFBC

∴∠DEC=DFC=90°

又∵∠ACB=90°

∴四边形DECF是矩形,

EF=CD

2)如图,

RtABC中,∠ACB=90°,AC=2BC=4

AB=,

∵当EFABC的中位线时,EFAB

EF=;

3)当ECFD为正方形时,

DE=EC=CF=FDDEBC

∴∠ADE=ABC

∵∠AED=DFB=90°

∴△AED∽△DFB

DF=x,则DE=xAE=2-xBF=4-x

,解得,x=

DE=DF=

EF=.

练习册系列答案
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(1)求证:ED为⊙O的切线;

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【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OEAB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得 即可得,则可证得的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的长,又由OEAB,证得根据相似三角形的对应边成比例,即可求得的长,然后利用三角函数的知识,求得的长,然后利用SADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.

试题解析:(1)证明:连接OD

OEAB

∴∠COE=CADEOD=ODA

OA=OD,

∴∠OAD=ODA

∴∠COE=DOE

在△COE和△DOE中,

∴△COE≌△DOE(SAS),

EDOD

ED的切线;

(2)连接CD,交OEM

RtODE中,

OD=32,DE=2,

OEAB

∴△COE∽△CAB

AB=5,

AC是直径,

EFAB

SADF=S梯形ABEFS梯形DBEF

∴△ADF的面积为

型】解答
束】
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