Question

（1）已知：如图，?ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：BE=DF．
（2）已知等腰三角形内接于半径为5的⊙O中，如果底边BC的长为6，求底角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB∥CD，AB=CD，然后又由AE⊥BD，CF⊥BD，利用AAS，即可证得△ABE≌△CDF，则可证得BE=DF．
（2）首先根据题意作图，注意等腰三角形分为锐角三角形与钝角三角形两种情况，然后利用垂径定理与勾股定理，即可求得AD与BD的长，继而求得底角的正切值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF．

（2）解：①如图1：作AD⊥BC于D，连接OB，
∵AB=AC，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴AD过圆心O，
∴OB=5，
在Rt△OBD中：OD=

OB2-BD2

=4，
∴AD=OD+OA=4+5=9，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

BD

=

9

3

=3；
②如图2：作AD⊥BC于D，连接OB，
∵AB=AC，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴AD过圆心O，
∴OB=5，
在Rt△OBD中：OD=

OB2-BD2

=4，
∴AD=OA-OD=5-4=1，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

BD

=

1

3

．
∴底角的正切值为3或

1

3

．

点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，垂径定理，以及勾股定理等的知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用．