题目内容
【题目】如图四边形
，
，
，
，
，
．动点
从点
出发，沿射线
的方向以每秒
的速度运动到
点返回，动点
从点
出发，在线段
上以每秒
的速度向点
运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点停止运动，设运动时间为
（秒）．
（1）当
时，是否存在点，使四边形
是平行四边形，若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
（2）当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于
；
（3）当时，是否存在点，使
是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t＝3；（2）t＝
；（3）t＝3或t＝
．
【解析】
（1）当DQ＝CP时，四边形PQDC是平行四边形，根据CP＝153t，DQ＝122t建立方程求解即可；
（2）分两种情况讨论：①当点P是从点B向点C运动时，②当点P从点C返回点B时，分别利用梯形面积公式构建方程，求出时间t，再舍去不合题意的值即可；
（3）分三种情况讨论：①当PQ＝PD时，②当PQ＝DQ时，③当DQ＝PD时，分别利用等腰三角形的性质及勾股定理列方程解答即可．
解：（1）∵AD∥BC
∴当DQ＝CP时，四边形PQDC是平行四边形，
当0＜t＜5时，点P从B运动到C，
∵DQ＝ADAQ＝122t，CP＝153t，
∴122t＝153t，
解得：t＝3，
∴t＝3时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）分两种情况讨论：
①当点P是从点B向点C运动时，
∵CP＝153t，DQ＝122t，以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于30cm2，
∴S四边形CDQP＝
(DQ＋CP)AB＝30，即× (122t＋153t)×10＝30，
解得：t＝；
②当点P从点C返回点B时，
由运动知，DQ＝122t，CP＝3t15，
∴S四边形CDQP＝ (DQ＋CP)AB＝30，即 (122t＋3t15)×10＝30，
解得：t＝9，
∵点Q到达点D的时间为12÷2＝6，
∴t＝9舍去，
∴当t为秒时，以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于30cm2；
（3）分三种情况讨论：
作PH⊥AD于H，
①当PQ＝PD时，则HQ＝HD，
∵QH＝HD＝DQ＝（122t）＝6t，
由AH＝BP，得：6t＋2t＝3t，
解得：t＝3；
②当PQ＝DQ时，
∵QH＝AHAQ＝BPAQ＝3t2t＝t，DQ＝122t，
∴PQ2＝QH2＋PH2＝t2＋102，
∵DQ2＝PQ2，
∴（122t）2＝t2＋102，
解得：t＝
，
∵0＜t＜5，
∴t＝；
③当DQ＝PD时，
∵DH＝ADAH＝ADBP＝123t，DQ＝122t，
∴PD2＝PH2＋HD2＝102＋（123t）2，
∵DQ2＝PD2，
∴（122t）2＝102＋（123t）2，
整理得：5t224t＋100＝0，
∵△＜0，
∴方程无实根，即此情况不存在，
综上可知，当t＝3秒或t＝秒时，△PQD是等腰三角形．
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【题目】弹簧挂上适当的重物后会按一定的规律伸长，已知一弹簧的长度
（cm）与所挂物体的质量
（kg）之间的关系如下表：
所挂物体的质量 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
弹簧的长度 | 15 | 15.6 | 16.2 | 16.8 | 17.4 | 18 | 18.6 |
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
（2）写出
与
之间的关系式；
（3）当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化？
（4）当所挂物体的质量为11.5kg时，求弹簧的长度。
