Question

实数a取什么值时，关于x的方程a（x²+1）=x（a²+1），
（1）有一个实数根？并求出它的根；
（2）有两个实数根？并求出它的根；
（3）有两个相等的实数根？并求出它的根．

Answer 1

分析：（1）先把方程化为一般式ax²-（a²+1）x+a=0，当a=0时，原方程为一元一次方程，解得x=0；
（2）当a≠0，△=（a²+1）²-4•a•a=（a²-1）²≥0，方程有两个实数根，利用求根公式求解；
（3）当a≠0，△=（a²+1）²-4•a•a=0，解得a=±1，然后把a=1和-1代入原方程分别得到两个一元二次方程，然后利用因式分解法求解．

解答：解：（1）ax²-（a²+1）x+a=0，
当a=0时原方程化为-x=0，解得x=0；
（2）当a≠0，△=（a²+1）²-4•a•a=（a²-1）²≥0，
x=

a2+1±(a2-1)

2a

解得x₁=a，x₂=

1

a

；
（3）当a≠0，△=（a²+1）²-4•a•a=0，
（a²-1）²=0，解得a=±1，
当a=1时，x²-2x+1=0，解得x₁=x₂=1；
当a=-1时，-x²-2x-1=0，解得x₁=x₂=-1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．