题目内容
【题目】如图,点
将线段
分成两部分,如果
,那么称点
为线段
的黄金分割点,某教学兴趣小组在进行研究时,由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”,类似的给出“黄金分割线”的定义:“一直线将一个面积为
的图形分成两部分,这两部分的面积分别为
,
,如果
,那么称这条直线为该图形的黄金分割线.
如图
,在
中,
,
,
的平分线交
于点
,请问直线
是不是
的黄金分割线,并证明你的结论;
如图
,在边长为
的正方形
中,点
是边
上一点,若直线
是正方形
的黄金分割线,求
的长.
【答案】直线
是
的黄金分割线,理由见解析;(2)
长为
.
【解析】
(1)如图2,根据等高三角形的面积比等于底的比可得,
,
要证直线CD是△ABC的黄金分割线,只需证,只需证
,易证BC=AD,只需证
,只需证△BCD∽△BAC即可;
(2)设BE=x,如图3,易得,
,
.由直线AE是正方形ABCD的黄金分割线可得
,由此得到关于x的方程,解这个方程就可解决问题.
解:直线
是
的黄金分割线.
理由:如图,
∵,
,
∴.
∵平分
,
∴,
∴,
,
∴,
,
∴.
∵,
,
∴,
∴,
∴.
∵,
,
∴,
∴直线是
的黄金分割线;
设
,如图
,
∵正方形的边长为
,
∴,
,
∴.
∵直线是正方形
的黄金分割线,
∴,
∴,
∴,
整理得:,
解得:,
.
∵点是边
上一点,
∴,
∴,
∴长为
.

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