题目内容
【题目】如图
，点
将线段
分成两部分，如果
，那么称点为线段的黄金分割点，某教学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似的给出“黄金分割线”的定义：“一直线将一个面积为
的图形分成两部分，这两部分的面积分别为
，
，如果
，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．
如图
，在
中，
，
，
的平分线交于点
，请问直线
是不是的黄金分割线，并证明你的结论；
如图
，在边长为的正方形
中，点
是边
上一点，若直线
是正方形的黄金分割线，求
的长．
【答案】
直线
是
的黄金分割线，理由见解析；（2）
长为
．
【解析】
（1）如图2，根据等高三角形的面积比等于底的比可得
，
，
要证直线CD是△ABC的黄金分割线，只需证
，只需证
，易证BC=AD，只需证
，只需证△BCD∽△BAC即可；
（2）设BE=x，如图3，易得
，
，
．由直线AE是正方形ABCD的黄金分割线可得
，由此得到关于x的方程，解这个方程就可解决问题．
解：直线是的黄金分割线．
理由：如图
，
∵
，
，
∴
．
∵平分
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴直线是的黄金分割线；
设
，如图
，
∵正方形
的边长为
，
∴，，
∴．
∵直线
是正方形的黄金分割线，
∴，
∴
，
∴
，
整理得：
，
解得：
，
．
∵点
是边
上一点，
∴
，
∴
，
∴长为．
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