Question

【题目】如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE（含30°），将三角板ABC（含45°）绕点A顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°），试问：

（1）当∠α=度时，能使图2中的AB∥DE；
（2）当旋转到AB与AE重叠时（如图3），则∠α=度；
（3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；
（4）当0°＜α≤45°时，连接BD（如图4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小变化情况，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）15
（2）45
（3）解：当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的度数为15°，45°，105°，135°，150°．如图a﹣e所示：

①当AD∥BC时，α=15°；②当DE∥AB时，α=45°；③当DE∥BC时，α=105°；④当DE∥AC时，α=135°；⑤当AE∥BC时，α=150°．

（4）解：如图4，当0°＜α≤45°时，∠DBC+∠CAE+∠BDE=105°，保持不变；

理由如下：设BD分别交AC、AE于点M、N，

在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180°，

∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，

∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，

∵∠C=30°，∠E=45°，

∴∠DBC+∠CAE+∠BDE=180°﹣75°=105°．

【解析】解：（1）如图2，当AB∥DE时，∠BAE=∠E=30°，

∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=45°-30°=15°，
即∠α=15°，
所以答案是：15；
（2）当旋转到AB与AE重叠时，∠α=∠BAC=45°，
所以答案是：45；．

【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的判定与性质的相关知识，掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质．