题目内容
如（a）图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（12，0），点B坐标为（6，8），点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周．（1）点C坐标是
（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大；
（3）点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如（b）图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似？（只考虑以点A、O为对应顶点的情况）
分析：（1）点C的坐标易求得；当点D运动8.5s时，D点运动的总路程为8.5×2=17，那么此时点D运动到线段AB上，且AD=5；根据AB的坐标易知AB=10，那么此时点D是AB的中点，即可求得点D的坐标；
（2）①当D在线段OA上，即0＜t≤6时，以OD为底，C点纵坐标的绝对值为高即可得到△OCD的面积，也就求得了此时y、x的函数关系式；
②当D在线段AB上，即6≤t＜11时，由于△BCD和△OCD等底同高，所以△OCD的面积是△OBD的一半，只需求出△OBD的面积即可；△OBD和△OAB等底，那么面积比等于高的比，分别过D、A作OB的垂线，设垂足为M、N；易证得△BDM∽△BAN，那么两条高的比即为BD、BA的比，易求得△ABO的面积由此得解；
③当D在线段OB上时，O、A、D三点共线，构不成三角形，故此种情况不成立；
（3）由D、E的运动速度及OA、AB的长可知：D、E在运动过程中总在OA、AB上；可分两种情况：
①∠ODC=∠ADE，此时△ODC∽△ADE；②∠ODC=∠AED，此时△ODC∽△AED；
根据上述两种情况所得到的比例线段即可求得t的值．
（2）①当D在线段OA上，即0＜t≤6时，以OD为底，C点纵坐标的绝对值为高即可得到△OCD的面积，也就求得了此时y、x的函数关系式；
②当D在线段AB上，即6≤t＜11时，由于△BCD和△OCD等底同高，所以△OCD的面积是△OBD的一半，只需求出△OBD的面积即可；△OBD和△OAB等底，那么面积比等于高的比，分别过D、A作OB的垂线，设垂足为M、N；易证得△BDM∽△BAN，那么两条高的比即为BD、BA的比，易求得△ABO的面积由此得解；
③当D在线段OB上时，O、A、D三点共线，构不成三角形，故此种情况不成立；
（3）由D、E的运动速度及OA、AB的长可知：D、E在运动过程中总在OA、AB上；可分两种情况：
①∠ODC=∠ADE，此时△ODC∽△ADE；②∠ODC=∠AED，此时△ODC∽△AED；
根据上述两种情况所得到的比例线段即可求得t的值．
解答：解：（1）C（3，4），D（9，4）；
（2）易知：OB=AB=10；
∵C点坐标为（3，4），
∴点C到x轴的距离为4
①当点D在线段OA上，即0＜t≤6时，OD=2t；
则：S=
OD×4=
×2t×4=4t；
②当D在线段AB上，即6≤t＜11时，BD=OA+AB-2t=22-2t；
过D作DM⊥OB于M，过点A作AN⊥OB于N；
则△BMD∽△BNA，得：
=
=
=
；
易知S△OAB=48；
∵S△ODB：S△OAB=DM：AN=（11-t）：5，
∴S△OBD=S△OAB•
=
（11-t）；
∵BC=OC，
∴S=S△BCD，即S=
S△OBD=
（11-t）=-
t+
；
③当D在线段OB上时，O、C、D三点共线，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上可知：当t=6时，S最大，且Smax=24；
（3）当0≤t≤5s时，D在线段OA上运动，E在线段AB上运动；
△OCD中，OC=5，OD=2t；△DAE中，AD=12-2t，AE=2t；
①当△OCD∽△ADE时，
=
=1，∴OC=AD，即12-2t=5，t=
；
②当△OCD∽△AED时，
=
，即
=
，解得t=
；
综上所述，当t=
或
时，两个三角形相似．
（2）易知：OB=AB=10；
∵C点坐标为（3，4），
∴点C到x轴的距离为4
①当点D在线段OA上，即0＜t≤6时，OD=2t；
则：S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
②当D在线段AB上，即6≤t＜11时，BD=OA+AB-2t=22-2t；
过D作DM⊥OB于M，过点A作AN⊥OB于N；
则△BMD∽△BNA，得：
| DM |
| AN |
| BD |
| BA |
| 22-2t |
| 10 |
| 11-t |
| 5 |
易知S△OAB=48；
∵S△ODB：S△OAB=DM：AN=（11-t）：5，
∴S△OBD=S△OAB•
| 11-t |
| 5 |
| 48 |
| 5 |
∵BC=OC，
∴S=S△BCD，即S=
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 264 |
| 5 |
③当D在线段OB上时，O、C、D三点共线，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上可知：当t=6时，S最大，且Smax=24；
（3）当0≤t≤5s时，D在线段OA上运动，E在线段AB上运动；
△OCD中，OC=5，OD=2t；△DAE中，AD=12-2t，AE=2t；
①当△OCD∽△ADE时，
| OC |
| AD |
| OD |
| AE |
| 7 |
| 2 |
②当△OCD∽△AED时，
| OC |
| AE |
| OD |
| AD |
| 5 |
| 2t |
| 2t |
| 12-2t |
| ||
| 4 |
综上所述，当t=
| 7 |
| 2 |
| ||
| 4 |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积的求法、一次函数的应用等知识，需注意的是（2）（3）都要根据不同情况分类讨论，以免漏解．
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