题目内容
如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC，且连接AE、BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，或小于90°），DG、DE分别交AB、AC于点M和N（如图②），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
（3）在（2）的情况下，当AE∥BC时，求AM的值．
【答案】分析：（1）猜想BG=AE，在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）（1）中的结论仍然成立．连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE；
（3））因为△ABC是等腰直角三角形，AD是BC边上的高，利用“三线合一”可证明BD=CD，进而证明△BDM≌△ADN，所以BM=AN，利用勾股定理求出AE，再通过证明△ADM∽△AEN，
利用相似三角形的性质得到关于AM的比例式，把已知数据代入求出AM的值即可．
解答：（1）猜想BG=AE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=DA，
在正方形DEFG中：GD=DE，∠GDB=∠EDA，
在Rt△BDG和Rt△ADE中，
∴Rt△BDG≌Rt△ADE（SAS），
∴BG=AE；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△AED中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；
（3）∵△ABC是等腰直角三角形，AD是BC边上的高，
∴∠5=∠6=∠7=45°，
∵BD=AD，∠3=∠2，
∴△BDM≌△ADN，
∴BM=AN，
∵AB=BC•cos∠7=2cos45°=
，
∴AN=BM=AB-AM=
-AM，
∵AE∥BC，
∴∠EAD=180°-∠ADC=90°，
∵AD=
BC=
×1=1，DE=BC=2，
∴AE=
=
，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠1=∠4，
∵∠8=90°-∠6=45°，
∴∠5=∠8，
∴△ADM∽△AEN，
∴
，
∴
，
∴AM=
．
点评：本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性很强，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．
（2）（1）中的结论仍然成立．连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE；
（3））因为△ABC是等腰直角三角形，AD是BC边上的高，利用“三线合一”可证明BD=CD，进而证明△BDM≌△ADN，所以BM=AN，利用勾股定理求出AE，再通过证明△ADM∽△AEN，
利用相似三角形的性质得到关于AM的比例式，把已知数据代入求出AM的值即可．
解答：（1）猜想BG=AE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=DA，
在正方形DEFG中：GD=DE，∠GDB=∠EDA，
在Rt△BDG和Rt△ADE中，
∴Rt△BDG≌Rt△ADE（SAS），
∴BG=AE；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△AED中，
，∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；
（3）∵△ABC是等腰直角三角形，AD是BC边上的高，
∴∠5=∠6=∠7=45°，
∵BD=AD，∠3=∠2，
∴△BDM≌△ADN，
∴BM=AN，
∵AB=BC•cos∠7=2cos45°=
，∴AN=BM=AB-AM=
-AM，∵AE∥BC，
∴∠EAD=180°-∠ADC=90°，
∵AD=
BC=×1=1，DE=BC=2，∴AE=
=，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠1=∠4，
∵∠8=90°-∠6=45°，
∴∠5=∠8，
∴△ADM∽△AEN，
∴
，∴
，∴AM=
．点评：本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性很强，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．
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如图，若已知△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则可得DE∥BC，且DE=
