Question

【题目】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”.

（1）试分析28是否为“神秘数”；

（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真、假，并说明理由．

①小能发现：两个连续偶数2k＋2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”也是4的倍数．

②小仁发现：2016是“神秘数”．

Answer 1

【答案】（1）28是“神秘数”（2）①是4的倍数，且是奇数倍②2016不是“神秘数”

【解析】

（1）根据题意设未知数x，列出对应方程x2－(x－2)2＝28，求解即可.

（2）根据小能的发现列式：(2k＋2)2－(2k)2化简，观察化简后的式子是否为4的倍数即可检验真假；根据小仁的发现列式：y2－(y－2)2＝2 016求解，根据所得解即可检验真假.

(1)若28都是“神秘数”，设28是由x和x－2两数的平方差得到的

则x2－(x－2)2＝28，解得：x＝8，

∴x－2＝6，

即28＝82－62，28是“神秘数”

(2)① (2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)，

∴由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍

或②设2 016是由y和y－2两数的平方差得到的，

则y2－(y－2)2＝2 016，

解得：y＝505，不是偶数，

∴2 016不是“神秘数”.