题目内容

已知抛物线y=ax2-4ax+c经过点A(0,2),顶点B的纵坐标为3.将直线AB向下平移,与x轴、y轴分别交于点C、D,与抛物线的一个交点为P,若D是线段CP的中点,则点P的坐标为_________.

解析试题分析:首先求出顶点坐标,利用待定的系数法求得物线的解析式;求出直线AB,进一步得到直线PC的解析式,由此联立一元二次方程求得结果.
试题解析:抛物线y=ax2-4ax+b的对称轴是x=,顶点坐标为B(2,3),且经过A(0,2),
代入函数解析式得
解得
所以函数解析式为y=?x2+x+2;
如图,

设P点坐标为(x,?x2+x+2),过点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,可得到△COD∽△CQP,
,又因为,所以
因此D点坐标为(0,?x2+x+1),
经过A、B两点直线AB的解析式为y=x+2,
因此直线CP的解析式为y=x+(-x2+x+1)=-x2+x+1,与抛物线联立方程得,
-x2+x+2=-x2+x+1,解得x=,(负舍去)
代入抛物线解析式可得y=
因此P点坐标为P().
考点: 二次函数综合题.

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