Question

已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点A作AD⊥BC，求出AD的长，利用三角形的面积公式进行解答即可；
（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（3）本题可先用△ABC的面积-△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．

解答：解：（1）过点A作AD⊥BC，则AD=

1

2

×BC×AB•sin60°=

1

2

×3×3×

3

2

=

9 3

4

；

（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=（3-t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=

1

2

BP，
即t=

1

2

（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=

1

2

BQ，
3-t=

1

2

t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

（3）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=

PM

PB

，
∴PM=PB•sin∠B=

3

2

（3-t），
∴S_△PBQ=

1

2

BQ•PM=

1

2

•t•

3

2

（3-t），
∴y=S_△ABC-S_△PBQ=

1

2

×3²×

3

2

-

1

2

×t×

3

2

（3-t）
=

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

，
∴y与t的关系式为y=

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的

2

3

，
则S_{四边形APQC}=

2

3

S_△ABC，
∴

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

=

2

3

×

1

2

×3²×

3

2

，
∴t²-3t+3=0，
∵（-3）²-4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的

2

3

．

点评：本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．