题目内容
【题目】如图1所示，已知抛物线y=-x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．
（1）直接写出D点和E点的坐标；
（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，S△HGF：S△BGF=5：6？
（3）图2所示的抛物线是由y=-x2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) D点的坐标是（2，9），点E的坐标是（2，3）．(2) m1=
，m2=
．(3) （1，1）或（3，3）或（2，2）．
【解析】
试题分析：（1）首先根据抛物线y=-x2+4x+5的顶点为D，求出点D的坐标是多少即可；然后设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），根据△CEC′是等腰直角三角形，求出E点的坐标是多少即可．
（2）令抛物线y=-x2+4x+5的y=0得：x2-4x-5=0可求得A、B的坐标，然后再根据S△HGF：S△BGF=5：6，得到：
，然后再证明△HGM∽△ABN，
，从而可证得
，所以HG=5，设点H（m，-m2+4m+5），G（m，m+1），最后根据HG=5，列出关于m的方程求解即可；
（3）分别根据∠P、∠Q、∠T为直角画出图形，然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q的坐标即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9
∴D点的坐标是（2，9）；
∵E为对称轴上的一点，
∴点E的横坐标是：-
=2，
设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），
∵将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上，
∴△CEC′是等腰直角三角形，
∴
解得
或
（舍去），
∴点E的坐标是（2，3），点C′的坐标是（0，1）．
综上，可得D点的坐标是（2，9），点E的坐标是（2，3）．
（2）如图1所示：
令抛物线y=-x2+4x+5的y=0得：x2-4x-5=0，
解得：x1=-1，x2=5，
所以点A（-1，0），B（5，0）．
设直线C′E的解析式是y=kx+b，将E（2，3），C′（0，1），代入得
，
解得：
，
∴直线C′E的解析式为y=x+1，
将y=x+1与y=-x2+4x+5，联立得：
，
解得：
，
，
∴点F得坐标为（4，5），点A（-1，0）在直线C′E上．
∵直线C′E的解析式为y=x+1，
∴∠FAB=45°．
过点B、H分别作BN⊥AF、HM⊥AF，垂足分别为N、M．
∴∠HMN=90°，∠ADN=90°．
又∵∠NAD=∠HNM=45°．
∴△HGM∽△ABN
∴，
∵S△HGF：S△BGF=5：6，
∴．
∴，即
，
∴HG=5．
设点H的横坐标为m，则点H的纵坐标为-m2+4m+5，则点G的坐标为（m，m+1），
∴-m2+4m+5-（m+1）=5．
解得：m1=，m2=．
（3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4（x-1）+5=-x2+6x．
将x=5代入y=-x2+6x得：y=5，
∴点T的坐标为（5，5）．
设直线OT的解析式为y=kx，将x=5，y=5代入得；k=1，
∴直线OT的解析式为y=x，
①如图2所示：当PT∥x轴时，△PTQ为等腰直角三角形，
将y=5代入抛物线y=-x2+6x得：x2-6x+5=0，
解得：x1=1，x2=5．
∴点P的坐标为（1，5）．
将x=1代入y=x得：y=1，
∴点Q的坐标为（1，1）．
②如图3所示：
由①可知：点P的坐标为（1，5）．
∵△PTQ为等腰直角三角形，
∴点Q的横坐标为3，
将x=3代入y=x得；y=3，
∴点Q得坐标为（3，3）．
③如图4所示：
设直线PT解析式为y=kx+b，
∵直线PT⊥QT，
∴k=-1．
将k=-1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，
∴直线PT的解析式为y=-x+10．
将y=-x+10与y=-x2+6x联立得：x1=2，x2=5
∴点P的横坐标为2．
将x=2代入y=x得，y=2，
∴点Q的坐标为（2，2）．
综上所述：点Q的坐标为（1，1）或（3，3）或（2，2）．
