Question

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S_{四边形ABDE}=S_△ABP，其中正确的是

1. A.
   ①③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①②③
4. D.
   ②③

Answer 1

C
分析：根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断．
解答：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°，
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，
BP=BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH=∠FPD=90°，
∠PAH=∠BAP=∠BFP，
PA=PF，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD．故③正确．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S_{四边形ABDE}=S_△ABP+S_△BDP+S_△APH-S_△EOH+S_△DOP=S_△ABP+S_△ABP-S_△EOH+S_△DOP=2S_△ABP-S_△EOH+S_△DOP．
故选C．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．