Question

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H． 
求证：①PF=PA；     ②AH+BD=AB．

Answer 1

分析：①首先计算出∠APB=135°，进而得到∠BPD=45°，然后再计算出∠FPB=135°，然后证明△ABP≌△FBP可得PA=PF；
②首先证明∠F=∠CAD，然后证明△APH≌△FPD，进而得到AH=FD，再利用等量代换可得结论．

解答：证明：①∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=

1

2

（∠CAB+∠CBA）=45°，
∴∠APB=135°，
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
在△ABP和△FBP中，

∠ABP=∠PBF BP=BP ∠APB=∠FPB

，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴PA=PF，

②∵△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠F，
∵∠BAP=∠CAD，
∴∠F=∠CAD，
在△APH和△FPD中，

∠APH=∠FPD PA=PF ∠PAH=∠PFD

，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是证明线段相等的重要手段．