题目内容
取一张矩形纸进行折叠．具体操作如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′得Rt△AB′E，如图（2）所示；
第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，点A在直线EC上，如图（3）所示．
利用展开图（4）探究：
（1）找出图中的全等三角形；
（2）△AEF是什么三角形并证明你的结论．
分析：（1）折叠得到的两个三角形△ABE和△AB′E一定是全等的．可猜测下面的△AB′F也和它们是全等的；
（2）由3个全等三角形可得到△AEF是等边三角形．
（2）由3个全等三角形可得到△AEF是等边三角形．
解答：解：（1）△ABE≌△AB′E≌△AB′F；
（2）△AEF是等边三角形，
由折叠过程知∠AEB=∠AEB′=∠CEB′=
=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠AFE=∠CEF=60°．
∴∠EAF=180°-60°-60°=60°．
从而∠AEF=∠AFE=∠EAF=60°．
故△AEF是等边三角形．
（2）△AEF是等边三角形，
由折叠过程知∠AEB=∠AEB′=∠CEB′=
| 180° |
| 3 |
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠AFE=∠CEF=60°．
∴∠EAF=180°-60°-60°=60°．
从而∠AEF=∠AFE=∠EAF=60°．
故△AEF是等边三角形．
点评：本题考查了直角三角形的判定，等边三角形的判定，解决本题的关键是根据折叠过程得到∠AEB=AEB′=CEB′=60°，解题的关键是利用折叠的性质解决问题．
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