Question

在△ABC中，以AD为直径的圆与△ABC的边BC相切于点D，交AB、AC于点E、F．
（1）说明：∠BAC+∠EDF=180°；
（2）若BD=CD，探索：∠EDF与∠C之间有何数量关系？说明你的理由．

Answer 1

（1）证明：∵AD为直径，∴∠AED=∠AFD=90°，
在四边形AEDF中，∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°，
∴∠BAC+∠EDF=180°；

（2）解：∠EDF=2∠C．
理由：∵⊙O与BC相切于D点，AD为直径，
∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，∴AD为BC边的中垂线，
∴AB=AC，∴∠B=∠C，
∵在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，而∠BAC+∠EDF=180°，
∴∠EDF=∠B+∠C=2∠C．
分析：（1）根据AD为直径，∠AED=∠AFD=90°，再由四边形内角和定理证明∠BAC+∠EDF=180°；
（2）由于⊙O与BC相切于D点，AD为直径，可证AD⊥BC，而BD=CD，则AD为BC边的中垂线，可证△ABC为等腰三角形，得∠B=∠C，再根据三角形内角和定理及（1）的结论探索关系．
点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理．关键是由圆周角定理证明直角，由切线的性质证明垂直关系．