题目内容
【题目】如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=BD=3,CD=2,点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止,过点P作PQ⊥BC,交折线BA﹣AC于点Q,连接DQ、CQ,若△ADQ与△CDQ的面积相等,则线段BP的长度是_____.
【答案】或4.
【解析】
分两种情况讨论:①点Q在AB边上时,设BP=x,用x表示出S△DCQ和 S△AQD,即可求解;②当Q在AC上时,则△AD Q与△CD Q的面积相等可得AQ=CQ,据此可求解.
解:分两种情况讨论:
①点Q在AB边上时,
∵AD⊥BC,AD=BD=3,CD=2,
∴S△ABD=BDAD=
×3×3=
,∠B=45°,
∵PQ⊥BC,
∴BP=PQ,
设BP=x,则PQ=x,PD= 3-x,
∵CD=2,
∴S△DCQ=×2x=x,
S△AQD=×3×(3-x)
=﹣
x
∵△ADQ与△CDQ的面积相等,
∴x=﹣
x,
解得x=;
②如图,当Q在AC上时,记为Q',过点Q'作Q'P'⊥BC,
∵AD⊥BC,
∴Q'P'∥AD,
∵△AD Q'与△CD Q'的面积相等,
∴AQ'=CQ',
∴DQ'是Rt△ADC斜边上的中线,
∴DQ'= CQ',
∴P' Q'是CD的垂直平分线,
∴DP'=CP'=CD=1,
∵AD=BD=3,
∴BP'=BD+DP'=4,
综上所述,线段BP的长度是或4.
故答案为:或4.

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