题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BD=,BF=2,求阴影部分的面积(结果保留π).
【答案】(1)BC与⊙O相切;(2).
【解析】
试题分析:(1)连接OD,证明OD∥AC,即可证得∠ODB=90°,从而证得BC是圆的切线;
(2)在直角三角形OBD中,设OF=OD=x,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为圆的半径,求出圆心角的度数,直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积.
试题解析:(1)BC与⊙O相切.
证明:连接OD.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD.又∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,即OD⊥BC.又∵BC过半径OD的外端点D,∴BC与⊙O相切;
(2)设OF=OD=x,则OB=OF+BF=x+2,根据勾股定理得:,即,解得:x=2,即OD=OF=2,∴OB=2+2=4,∵Rt△ODB中,OD=OB,∴∠B=30°,∴∠DOB=60°,∴S扇形AOB==,则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF==.
故阴影部分的面积为.
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