题目内容
【题目】如图,在△ABC中,E是AC边上的一点,且AE=AB,∠BAC=2∠CBE,以AB为直径作⊙O交AC于点D,交BE于点F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若AB=8,BC=6,求DE的长.
【答案】(1)证明见解析(2)1.6
【解析】
试题分析:(1)由AE=AB,可得∠ABE=90°﹣∠BAC,又由∠BAC=2∠CBE,可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°,继而证得结论;
(2)首先连接BD,易证得△ABD∽△ACB,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案.
试题解析:(1)∵AE=AB,
∴△ABE是等腰三角形,
∴∠ABE=(180°﹣∠BAC=)=90°﹣∠BAC,
∵∠BAC=2∠CBE,
∴∠CBE=∠BAC,
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=(90°﹣∠BAC)+∠BAC=90°,
即AB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线;
(2)连接BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ADB=∠ABC,
∵∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACB,
∴,
∵在Rt△ABC中,AB=8,BC=6,
∴AC==10,
∴,
解得:AD=6.4,
∵AE=AB=8,
∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6.
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