题目内容

己知:如图,AB是半圆O的直径,弧AC与弧BD相等,直线CM、DN分别切半圆于点C、D,且分别和直线AB相交于点M、N.
(1)MO与NO相等吗?为什么?
(2)若∠M=30°,试探索线段MN和线段CD的关系.

证明:(1)连接CO、DO.
∵MC、ND是⊙O的切线,
∴OC⊥CM,OD⊥DN,
∴∠MCO=∠NDO=90°.
又∵弧AC与弧BD相等,
∴∠AOC=∠BOD,即∠MOC=∠NOD
在△MCO和△NDO中,

∴△MCO≌△NDO(ASA).
∴MO=NO(全等三角形的对应角相等).

(2)MN=4CD.理由如下:
∵∠M=30°,
∴∠AOC=60°.
又∵AB∥CD,
∴∠OCD=60°.
∴△OCD为等边三角形.
∴CD=OC.
又∵Rt△MCO中,OC=OA,∠M=30°,
∴MA=AO=OC.
同理可得NB=OB=OC,
∴MN=4CD.
分析:(1)连接CO、DO,易证△MCO≌△NDO,故MO=NO;
(2)先证△OCD为等边三角形,CD=OC,Rt△MCO中,OC=OA,∠M=30°,故MA=AO=OC,同理可得NB=OB=OC,故MN=4CD.
点评:本题综合考查了切线的性质,全等三角形的判定,等边三角形的性质及平行线的性质.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题,不知从何处入手造成错解.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网