题目内容

【题目】解答
(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.
证明:DE=BD+CE.

(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.

【答案】
(1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,

∴∠BDA=∠CEA=90°,

∵∠BAC=90°,

∴∠BAD+∠CAE=90°,

∵∠BAD+∠ABD=90°,

∴∠CAE=∠ABD,

∵在△ADB和△CEA中

∴△ADB≌△CEA(AAS),

∴AE=BD,AD=CE,

∴DE=AE+AD=BD+CE


(2)证明:成立.

∵∠BDA=∠BAC=α,

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,

∴∠CAE=∠ABD,

∵在△ADB和△CEA中

∴△ADB≌△CEA(AAS),

∴AE=BD,AD=CE,

∴DE=AE+AD=BD+CE


(3)证明:△DEF是等边三角形.

由(2)知,△ADB≌△CEA,

BD=AE,∠DBA=∠CAE,

∵△ABF和△ACF均为等边三角形,

∴∠ABF=∠CAF=60°,

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,

∴∠DBF=∠FAE,

∵BF=AF

在△DBF和△EAF中

∴△DBF≌△EAF(SAS),

∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,

∴△DEF为等边三角形


【解析】(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA,则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;(2)与(1)的证明方法一样;(3)由前面的结论得到△ADB≌△CEA,则BD=AE,∠DBA=∠CAE,根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°,则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,则∠DBF=∠FAE,利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF,所以DF=EF,∠BFD=∠AFE,于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网