Question

已知抛物线y=-x²+2x+8与x轴交于B、C两点，点D平分BC．若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由“∠BAC为锐角”可知点A在以定线段BC为直径的圆外，又点A在x轴上侧，从而可确定动点A的范围，进而确定AD的取值范围．

解答：解：如图，∵抛物线y=-x²+2x+8，
∴抛物线的顶点为A₀（1，9），
对称轴为x=1，
与x轴交于两点B（-2，0）、C（4，0），
分别以BC、DA为直径作⊙D、⊙E，则
两圆与抛物线均交于两点P（1-2

2

，1）、Q（1+2

2

，1）．
可知，点A在不含端点的抛物线

PA0Q

内时，∠BAC＜90°，
且有3=DP=DQ＜AD≤DA₀=9，
即AD的取值范围是3＜AD≤9．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时首先求出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，然后利用已知条件探究即可解决问题．