Question

（2012•黄冈二模）产品按质量可分成6种不同的档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件，如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．
（1）若最低档次的产品每件利润为16元时，生产哪种档次的产品所得利润最大？
（2）若最低档次的产品每件利润为22元时，生产哪种档次的产品所得利润最大？
（3）由于原材料价格浮动，生产最低档次的产品每件利润可以从8元到24元不等，那么生产哪种档次的产品所得利润最大？

Answer 1

分析：（1）关系式为：利润=（最低档次的利润+档次-1）×[原来可生产产品件数-2（档次-1）]，求得相关代数式后，可利用顶点式求得相应的对称轴，进而根据档次为整数求得离对称轴最近的整数档次即可；
（2）结合（1）可得相应关系式，进而用顶点式可得相应的最大值，根据生产最低档次的产品每件利润的取值范围可得相应档次产品的档次．
（3）结合（1）可得相应关系式，进而用顶点式可得相应的最大值，根据生产最低档次的产品每件利润的取值范围可得相应档次产品的档次．

解答：解：（1）设生产第x档次的产品，获得利润为y元，则y=[40-2（x-1）][16+（x-1）]，
y=-2（x-3）²+648
故当x=3时获得的最大利润为648元．

（2）设生产第n档次的产品，获得利润为m元，则m=[40-2（n-1）][22+（n-1）]，
m=-2n²+882．
∵a=-2＜0，对称轴为y轴．
∴抛物线开口下向下，在对称轴的右侧m随n的增大而减小．
∴当n=1时，m最大为880元．

（3）设生产最低档次的产品每件利润为a元，生产第x档次的产品，获得利润为y元，
则y=[40-2（x-1）][a+（x-1）]
y=-2（x-

22-a

2

）²+

a2+20a+400

2

，
则当x=

22-a

2

时，y_最大=

(a+20)2

2

，
∵8≤a≤24，x为1～6的整数，
∴

22-a

2

＞0，a取最大值时，y最大，
∴a＜22，
∴要使y最大，必须a=20，x=

22-20

2

=1．
即生产第1档次的产品所得利润最大．

点评：本题考查二次函数的应用；得到每件产品的利润及销售量是解决本题的关键；根据最低档次的产品的利润的相应的取值判断出相应档次是解决本题的难点．