题目内容

【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣5(a0)与x轴交于点A(﹣5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点,当S△ABE=S△ABC时,求点E的坐标;

(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使BAP=CAE?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2+x﹣5;(2)E点坐标为(﹣2,﹣5);(3)存在满足条件的点P,其横坐标为

【解析】

试题分析:(1)把A、B两点的坐标代入,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;(2)当S△ABE=S△ABC时,可知E点和C点的纵坐标相同,可求得E点坐标;(3)在CAE中,过E作EDAC于点D,可求得ED和AD的长度,设出点P坐标,过P作PQx轴于点Q,由条件可知EDA∽△PQA,利用相似三角形的对应边可得到关于P点坐标的方程,可求得P点坐标.

试题解析:(1)把A、B两点坐标代入解析式可得,解得

抛物线解析式为y=x2+x﹣5;

(2)在y=x2+x﹣5中,令x=0可得y=﹣5,

C(0,﹣5),

S△ABE=S△ABC,且E点在x轴下方,

E点纵坐标和C点纵坐标相同,

当y=﹣5时,代入可得x2+x=﹣5,解得x=﹣2或x=0(舍去),

E点坐标为(﹣2,﹣5);

(3)假设存在满足条件的P点,其坐标为(m,m2+m﹣5),

如图,连接AP、CE、AE,过E作EDAC于点D,过P作PQx轴于点Q,

则AQ=AO+OQ=5+m,PQ=|m2+m﹣5|

在RtAOC中,OA=OC=5,则AC=5ACO=DCE=45°,

由(2)可得EC=2,在RtEDC中,可得DE=DC=

AD=AC﹣DC=5=4

BAP=CAE时,则EDA∽△PQA,

,即=

m2+m﹣5=(5+m)或m2+m﹣5=﹣(5+m),

m2+m﹣5=(5+m)时,整理可得4m2﹣5m﹣75=0,解得m=或m=﹣5(与A点重合,舍去),

m2+m﹣5=﹣(5+m)时,整理可得4m2+11m﹣45=0,解得m=或m=﹣5(与A点重合,舍去),

存在满足条件的点P,其横坐标为

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