题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点,当S△ABE=S△ABC时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使∠BAP=∠CAE?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2+x﹣5;(2)E点坐标为(﹣2,﹣5);(3)存在满足条件的点P,其横坐标为或.
【解析】
试题分析:(1)把A、B两点的坐标代入,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;(2)当S△ABE=S△ABC时,可知E点和C点的纵坐标相同,可求得E点坐标;(3)在△CAE中,过E作ED⊥AC于点D,可求得ED和AD的长度,设出点P坐标,过P作PQ⊥x轴于点Q,由条件可知△EDA∽△PQA,利用相似三角形的对应边可得到关于P点坐标的方程,可求得P点坐标.
试题解析:(1)把A、B两点坐标代入解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5;
(2)在y=x2+x﹣5中,令x=0可得y=﹣5,
∴C(0,﹣5),
∵S△ABE=S△ABC,且E点在x轴下方,
∴E点纵坐标和C点纵坐标相同,
当y=﹣5时,代入可得x2+x=﹣5,解得x=﹣2或x=0(舍去),
∴E点坐标为(﹣2,﹣5);
(3)假设存在满足条件的P点,其坐标为(m,m2+m﹣5),
如图,连接AP、CE、AE,过E作ED⊥AC于点D,过P作PQ⊥x轴于点Q,
则AQ=AO+OQ=5+m,PQ=|m2+m﹣5|,
在Rt△AOC中,OA=OC=5,则AC=5,∠ACO=∠DCE=45°,
由(2)可得EC=2,在Rt△EDC中,可得DE=DC=,
∴AD=AC﹣DC=5﹣=4,
当∠BAP=∠CAE时,则△EDA∽△PQA,
∴,即=,
∴m2+m﹣5=(5+m)或m2+m﹣5=﹣(5+m),
当m2+m﹣5=(5+m)时,整理可得4m2﹣5m﹣75=0,解得m=或m=﹣5(与A点重合,舍去),
当m2+m﹣5=﹣(5+m)时,整理可得4m2+11m﹣45=0,解得m=或m=﹣5(与A点重合,舍去),
∴存在满足条件的点P,其横坐标为或.
【题目】体育文化用品商店购进篮球和排球共20个,进价和售价如下表,全部销售完后共获利润260元.
篮球 | 排球 | |
进价(元/个) | 80 | 50 |
售价(元/个) | 95 | 60 |
求:(1)购进篮球和排球各多少个?
(2)销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等?