Question

【题目】已知：如图，在中，，点是的中点，点是的中点，点是的中点，过点作交的延长线于点.

（1）求证：；

（2）若，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4.

【解析】

试题分析：（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS定理可得出△ADE≌△FCE；

（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD=AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD=∠BDC=30°，进而可得出结论．

试题解析：（1）证明：∵点E是CD的中点，∴DE=CE．

∵AB∥CF，∴∠BAF=∠AFC．

在△ADE与△FCE中，

∵，

∴△ADE≌△FCE（AAS）；

（2）解：由（1）得，CD=2DE，

∵DE=2，∴CD=4．

∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，∴AB=2CD=8，AD=CD=AB．

∵AB∥CF，∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，

∴∠DAC=∠ACD=∠BDC=×60°=30°，

∴BC=AB=×8=4．