题目内容
【题目】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分別在线段BC、CD上，∠EAF=30°，连接EF． 
（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），那么
①∠E′AF度数②线段BE、EF、FD之间的数量关系
（2）如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】
（1）30°；BE+DF=EF
（2）解：如图3，在BE上截取BG=DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
∵ 
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG=∠DAF，且AG=AF，
∵∠DAF+∠DAE=30°，
∴∠BAG+∠DAE=30°，
∵∠BAD=60°，
∴∠GAE=60°﹣30°=30°，
∴∠GAE=∠FAE，
在△GAE和△FAE中，
∵ 
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=FE，
又∵BE﹣BG=GE，BG=DF，
∴BE﹣DF=EF，
即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE﹣DF=EF
【解析】解：（1）①如图2， 
将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′，则
∠1=∠2，BE=DE′，AE=AE′，
∵∠BAD=60°，∠EAF=30°，
∴∠1+∠3=30°，
∴∠2+∠3=30°，即∠FAE′=30°
②由①知∠EAF=∠FAE′，
在△AEF和△AE′F中，
∵ 
，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，即EF=DF+DE′，
∴EF=DF+BE，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DF=EF，
所以答案是：①30°；②BE+DF=EF；
【考点精析】关于本题考查的旋转的性质，需要了解①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能得出正确答案．
