Question

如图，已知等腰梯形的一个底角是60°，它的两底分别是6cm，16cm，则等腰梯形的周长是

42cm

，面积是

55

3

cm2

．

Answer 1

分析：先过A、D分别做AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别是E、F，由于四边形ABCD是等腰梯形，易得AB=CD，AD∥BC，而AE⊥BC，DF⊥BC，易证四边形AEFD是矩形，从而可知EF=AD=6，AE=DF，根据HL易证Rt△ABE≌Rt△DCF，那么BE=CF，进而可求BE、CF，在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=5，易求AB，再根据勾股定理易求AE，结合梯形周长公式、面积公式易求其值．

解答：解：如右图所示，
过A、D分别做AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别是E、F，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEF=∠DFE=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠DFE=∠EAD=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=6，AE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴BE=CF=

1

2

（16-6）=5，
在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=5，
∴AB=BE=10，AE=5

3

，
∴梯形的周长=6+16+2×10=42，
S_梯形=

1

2

（6+16）×5

3

=55

3

．
故答案是42；55

3

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的性质、含有30°的直角三角形的性质、矩形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，证明四边形AEFD是矩形．