Question

已知：如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=45°；点D是上的一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连接AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S_△DAF、S_△BAE，求证：S_△DAF＞S_△BAE．

Answer 1

证明：（1）连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE∥BC，
∴OD⊥BC，
∴弧BD=弧CD，
∴∠BAD=∠EAD
∵∠BDA=∠BCA，DE∥BC，
∴∠BDA=∠DEA，
∵∠BAD=∠EAD，
∴△ABD∽△ADE；

（2）由（1）得，
即AD²=AB•AE，
设在△ABE中，AE边上的高为h，则S_△ABE=h•AE，
∵三角形ABC为锐角△，∴h＜AB，
由∠ABC=45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形，
∴S_△ADF=×AD×AF=AD²
∴AD²=AE×AB．
∵h＜AB．
∴S_△DAF＞S_△BAE．
分析：（1）利用切线的性质和垂径定理得到相等的弧，从而证得∠BDA=∠DEA，进而可以证得两个三角形相似；
（2）利用上题证明的相似三角形得到等积式AD²=AB•AE，表示出两个三角形的面积，比较即可．
点评：本题考查了切线的性质及相似三角形的判定及性质，解题的关键是正确的证明两个三角形相似，并利用证得的相似三角形得到等积式．