题目内容
如图:已知在等边三角形ABC中,点D、E分别是AB、BC延长线上的点,且BD=CE,直线CD与AE相交于点F.(1)求证:DC=AE;
(2)求证:AD2=DC•DF.
分析:(1)利用“SAS”证明△DBC≌△ECA即可;
(2)由△DBC≌△ECA可知∠E=∠D,根据外角定理可知∠AFC=∠E+∠FCE=∠D+∠BCD=∠ABC=60°,可证△DCA∽△DAF,利用相似比得出结论.
(2)由△DBC≌△ECA可知∠E=∠D,根据外角定理可知∠AFC=∠E+∠FCE=∠D+∠BCD=∠ABC=60°,可证△DCA∽△DAF,利用相似比得出结论.
解答:证明:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,BC=CA(2分)
∴∠DBC=∠ECA=180°-60°=120°(1分)
在△DBC与△ECA中
∴△DBC≌△ECA(SAS)(2分)
∴DC=AE;(1分)
(2)∵△DBC≌△ECA,
∴∠DCB=∠EAC(1分)
又∠ACB=∠BAC
∴∠DCA=∠DAF(1分)
又∠D=∠D
∴△DCA∽△DAF(2分)
∴
=
(1分)
∴AD2=DC•DF.(1分)
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,BC=CA(2分)
∴∠DBC=∠ECA=180°-60°=120°(1分)
在△DBC与△ECA中
|
∴△DBC≌△ECA(SAS)(2分)
∴DC=AE;(1分)
(2)∵△DBC≌△ECA,
∴∠DCB=∠EAC(1分)
又∠ACB=∠BAC
∴∠DCA=∠DAF(1分)
又∠D=∠D
∴△DCA∽△DAF(2分)
∴
DC |
AD |
AD |
DF |
∴AD2=DC•DF.(1分)
点评:本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质.关键是根据等边三角形的性质找角相等的条件.
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