题目内容

如图，点A是双曲线 $数学公式$ 与直线y=-x-k在第二象限内的交点，AB⊥x轴于B，且S_△ABO=3
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

解：（1）设A点坐标为（a，b），则OB=-a，AB=b，
则S_△ABO= $\text{[math]}$ OB•AB= $\text{[math]}$ •（-a）•b=3，
ab=-6，
把A（a，b）代入y= $\text{[math]}$ 得ab=k-1，
则k-1=-6，
解得k=-5，
故反比例函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ ，直线的解析式为y=-x+5；
（2）直线AC交x轴于D点，
对于y=-x+5，令y=0，则x=5，
则D点坐标为（5，0），
解方程组 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
则点A的坐标为（-1，6），C点坐标为（6，-1），
则S_△AOC=S_△AOD+S_△COD= $\text{[math]}$ ×5×6+ $\text{[math]}$ ×5×1= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先设A点坐标为（a，b），则OB=-a，AB=b，根据三角形面积公式得到 $\text{[math]}$ •（-a）•b=3，即ab=-6；再把A（a，b）代入反比例函数解析式中得到ab=k-1，则有
k-1=-6，解得k=-5，这样可确定两函数解析式；
（2）先利用直线y=-x+5确定D点坐标，再解有两个解析式所组成的方程组得到A点和C点坐标，然后利用S_△AOC=S_△AOD+S_△COD进行计算．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了三角形的面积公式．