Question

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

(1)操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是    ；

②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，那么S₁，S₂之间的数量关系是    ；

(2)猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想；

 

(3)拓展探究

       已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.

若在射线BA上存在点F，使S_△DCF=S_△BDE，请直接写出相应的BF的长.

Answer 1

解：（1）① DE∥AC      2分

② S₁=S₂       2分

（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，   1分

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，    1分

∵易证在△ACN和△DCM中，∴△ACN≌△DCM（AAS），           2分

∴AN=DM，    1分

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S₁=S₂； 1分

（3）如图，过点D作DF₁∥BE，易求四边形BEDF₁是菱形，所以BE=DF₁，且BE、DF₁上的高相等，

此时S_△DCF=S_△BDE，过点D作DF₂⊥BD，∵∠ABC=60°，∴∠F₁DF₂=∠ABC=60°，
∴△DF₁F₂是等边三角形，∴DF₁=DF₂，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=0.5×60°=30°，∴∠CDF₁=180°-30°=150°，∠CDF₂=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF₁=∠CDF₂，∵在△CDF₁和△CDF₂中，∴△CDF₁≌△CDF₂（SAS），∴点F₂也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=0.×60°=30°，
又∵BD=4，∴BE=     ∴BF₁=   ，BF₂=BF₁+F₁F₂=

 故BF的长为或．