题目内容

【题目】已知:如图,在菱形ABCD中,F为边AB的中点,DF与对角线AC交于点G,过G作GE⊥AD于点E,若AB=2,且∠1=∠2,则下列结论正确个数的有(  )

①DF⊥AB;②CG=2GA;③CG=DF+GE;④S四边形BFGC=﹣1.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴∠BAC=∠DAC,AB∥CD,∴∠1=∠ACD,

∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2,∴AE=ED,

∵GE⊥AD,∴AD=2AE,

∵AB=2AF,∴AE=AF,

又∵AG=AG,∴△FAG≌△EAF,∴∠AFG=∠AEG=90°,∴DF⊥AB,故①正确;

AB//CD,∴△AFG∽△CDG,CG:AG=CD:AF,AF= AB,AB=CD,∴CG:AG=2:1,∴CG=2AG,故②正确;

延长CB交DF的延长线于点,

∵AD//BC,∴∠M=∠2,∵∠1=∠2,∴∠1=∠M,∴CG=MG,

在△ADF和△BMF中,

∵∠M=∠2,∠BFM=∠AFD(对顶角相等),BF=AF,

∴△ADF≌△BMF(AAS),∴MF=DF,

∵△FAG≌△EAF,∴FG=EG,

∵GM=GF+MF,∴CG=DF+GE,故③正确;

由以上可得BO=1,AC=2 ,FG=

S四边形BFGC=SABC-SAFG= ×2×1- ××1=,故④错误;

故选C.

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