Question

情境一

我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．我们还知道：①圆心角的度数等于与它所对的弧的度数，②同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．由此，小明得到一个正确的结论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．如图1，∠LMN＝．

问题1  填空：如图1，如果的度数是80，那么∠LMN的度数是______．

图

1

情境二

小明把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，并继续探索．

如图2，∵∠PTQ是△OPT的一个外角，

∴∠PTQ＝∠O＋∠P．

∴∠O＝∠PTQ －∠P．

∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半(已在情境一中

证明)，

∴∠PTQ＝，∠P＝．

∴∠O＝∠PTQ －∠P＝－＝(－)． 

经历了上述探索、证明过程，小明发现了“圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半”这个正确结论．

问题2  填空：如图2，如果＝80°，＝20°，那么∠O＝______°．

问题3  类比情境二的内容，请你就角的顶点在圆内的情况进行探索．写出你的发现，并证明你的结论．

Answer 1

问题1  40．………………2分

问题2  30．………………4分

问题3  顶点在圆内的角叫圆内角．(圆内角的名称可以用其他名称替代)………………5分

圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半．………………7分

证明：如图，延长BA，交圆于点D，延长CA，交圆于点E，连接CD．

∵∠BAC是△ACD 的一个外角，

∴∠BAC＝∠C＋∠D．……9分

∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半(已在情境一中证明)，

∴∠C＝，∠D＝．

∴∠BAC＝∠C ＋∠D＝＋＝(＋)．……11分

∴命题成立．