题目内容
在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4，把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别落在AB、AC上．将三角板绕点A按逆时针旋转，设旋转角为α（1）如图①，当0°＜α＜60°时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F，请你通过观察或测量写出图中现有的两组相等线段（菱形的边和对角线除外）．
（2）如图②，当60°＜α＜120°时，三角板的两边分别与BC、CD的延长线相交于点E、F，你在（1）中得到的结论还成立吗？若成立，请你选择一组加以证明；若不成立，请你说明理由．
（3）当0°＜α＜60°时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F，请你求出这个三角板与这个菱形重合部分的面积．
【答案】分析：（1）由图可得，BE=CF，CE=FD，AE=AF；
（2）任取（1）中一组，通过证明三角形全等，即可证明；
（3）重合部分的面积即是△ABC的面积，又△ABC为等边三角形，AB=4，易得高为2
，即可求得．
解答：
解：（1）BE=CF，AE=AF，CE=DF．写出两组即可．
（2）（1）中的结论仍然成立，如图②，BE=CF的结论仍然成立；
证明：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACD=∠CAD=60°，
∴AB=AC，
又由题意可知，∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
（3）当0°＜α＜60°时，三角板与这个菱形重合部分的面积就是四边形AECF的面积．
解：由题意可证△BAE≌△CAF，
∴四边形AECF的面积就是△ABC的面积，
∵AB=4，
∴S△ABC=
×4×2
=
，
即重叠部分的面积是
．
点评：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的性质，证明线段相等，一般是通过证明三角形全等来解答．
（2）任取（1）中一组，通过证明三角形全等，即可证明；
（3）重合部分的面积即是△ABC的面积，又△ABC为等边三角形，AB=4，易得高为2
，即可求得．解答：
解：（1）BE=CF，AE=AF，CE=DF．写出两组即可．（2）（1）中的结论仍然成立，如图②，BE=CF的结论仍然成立；
证明：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACD=∠CAD=60°，
∴AB=AC，
又由题意可知，∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
（3）当0°＜α＜60°时，三角板与这个菱形重合部分的面积就是四边形AECF的面积．
解：由题意可证△BAE≌△CAF，
∴四边形AECF的面积就是△ABC的面积，
∵AB=4，
∴S△ABC=
×4×2=，即重叠部分的面积是
．点评：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的性质，证明线段相等，一般是通过证明三角形全等来解答．
练习册系列答案
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