Question

在课外兴趣小组活动时，刘老师给出了如下问题：
如图（1），已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=

3

AC．
小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
（1）从特殊情况入手，添加条件“∠B=∠D”，如图（2），可证：AB+AD=

3

AC．请你完成此证明．
（2）类比（1）的问题的解决方法，在图（1）证明AB+AD=

3

AC．

Answer 1

分析：（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=

3

2

AC，那么AD+AB=

3

AC．
（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明△CDF与△CBE全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．

解答：（1）证明：在题图（2）中，
∵∠B=∠D，且∠B与∠D互补，
∴∠B=∠D=90°．
又∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∴AB=AC×cos∠CAB=

3

2

AC，
AD=AC×cos∠CAD=

3

2

AC，
∴AB+AD=

3

AC．

（2）证明：如图，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．

由（1）知，AE+AF=

3

AC．
∵AC为∠BAD的平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴∠CFD=∠CEB，CE=CF．
而∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE也互补，
∴∠D=∠CBE，
在△CDF与△CBE中，

∠D=∠CBE ∠CFD=∠CEB CE=CF

∴△CDF与△CBE（AAS），
∴DF=BE，
∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=

3

AC．

点评：本题考查了由特殊到一般的探究能力．通过对特殊问题解法的类比、发散联想，进行创造性思维，从而延伸到一般问题的解题方法．解本题的关键是将（1）中的做法应用到（2）中时恰当添加辅助线．