题目内容

如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为射线BC上的一点，且PB=PD，过D点作AC边上的高DE．
（1）求证：PE=BO；
（2）设AC=8，AP=x，S_△PBD为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的P点，使得△PBD的面积是△ABC面积的 $数学公式$ ？如果存在，求出AP的长；如果不存在，请说明理由．

解：（1）P在AO上（如图1）：
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点

∴BO⊥AC
∵DE⊥AC
∴∠POB=∠DEP=90°（1分）
∵PB=PD
∴∠PBD=∠PDB，
∵∠OBC=∠C=45°，
∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD，
∵∠PBD=∠PDB，
∴∠PB0=∠DPE（2分）
∴△POB≌△DEP（AAS）
∴PE=BO（1分）
P在OC上（如图2）：
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点
∴BO⊥AC
∵DE⊥AC
∴∠POB=∠DEP=90°
∵PB=PD
∴∠PBD=∠PDB
∵∠C=∠DCE=∠CDE=45°
∴∠PB0=∠DPE（1分）
∴△POB≌△DEP（AAS）
∴PE=BO（1分）

（2）P在AO上（如图1）：
由△POB≌△DEP得BO=PE=4，
∴PO=DE=EC=4-x，（1分）
∴S_△PBD=S_PBDE-S_△PDE=S_△PBO+S_OBDE-S_△PDE=S_OBDE=S_△OBC-S_△DEC
∴S_△PBD= $\text{[math]}$ （2分）
P在OC上（如图2）：
由△POB≌△DEP得BO=PE=4，
∴PO=DE=EC=x-4，（1分）
∴S_△PBD=S_△PBC+S_△PDC=S_△PBC+S_△PDE-S_△CDE=S_△PBC+S_△POB-S_△CDE
= $\text{[math]}$ （2分）
∴ $\text{[math]}$
即y= $\text{[math]}$ （8x-x²），（0＜x＜8）；
（3）S_△ABC=16， $\text{[math]}$ 要使得△PBD的面积是△ABC面积的 $\text{[math]}$ ，
只要 $\text{[math]}$ ，解方程得x₁=2，x₂=6，（2分）
即当AP等于2或6时，△PBD的面积是△ABC面积的 $\text{[math]}$
注：（2）中的S_△PBD的求解可以直接用面积计算，而且不需分类讨论，可酌情给分）
分析：（1）根据在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点得到BO⊥AC，再根据DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，从而证明△POB≌△DEP，进而证得结论PE=BO；解题时注意分P在AO上和P在OC上两种情况讨论；
（2）由△POB≌△DEP得BO=PE=4，当点P在AO上时，PO=DE=EC=4-x，此时，S_△PBD=S_PBDE-S_△PDE，当P在OC上时，PO=DE=EC=x-4，此时S_△PBD=S_△PBC+S_△PDC=S_△PBC+S_△PDE-S_△CDE=S_△PBC+S_△POB-S_△CDE
（3）根据S_△ABC=16， $\text{[math]}$ 知道要使得△PBD的面积是△ABC面积的 $\text{[math]}$ ，只要 $\text{[math]}$ ，解方程得x₁=2，x₂=6从而得到当AP等于2或6时，△PBD的面积是△ABC面积的 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用及全等三角形的判定及性质，是一道难度较大、综合性较强的综合题，解题时一定要仔细审题．