Question

已知关于x的方程：

x2+a

x-2

-a-1=0有一个增根为b，另一根为c．二次函数y=ax²+bx+c+7(-

3

2

≤x≤

3

2

)与x轴交于P和Q两点．在此二次函数的图象上求一点M，使得△PQM面积最大．

Answer 1

分析：方程

x2+a

x-2

-a-1=0可化简为x²+a=（a+1）（x-2）．方程

x2+a

x-2

-a-1=0只有x=2时才有增根，可推出b=2；将x=2代入方程x²+a=（a+1）（x-2）得4+a=0即a=-4，再根据a的值求出c并确定解析式，再根据顶点坐标公式和x的取值范围确定△PQM面积最大时M点的坐标．

解答：解：由题意可得b=2，a=-4代入方程得c=-5．
∴二次函数为y=-4x²+2x+2与x轴的交点为P（-

1

2

，0），Q（1，0），
当点M的横坐标为x=-

3

2

或x=

1

4

或x=

3

2

时，
△PQM的面积可能取最大，
经比较可得x=-

3

2

时，△PQM的面积取最大，
此时y=-10即点M（-

3

2

，-10），
S△PQM=

15

2

．

点评：学会巧妙地利用分式方程的性质来解决问题，同时要明确增根问题可按如下步骤进行：
①确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．