题目内容
如图,已知在△ABC中,BC=6,∠B=45°,cotC=
.
(1)求△ABC的面积;
(2)如果⊙A与以BC为直径的⊙0相切,求⊙A的半径.
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(1)求△ABC的面积;
(2)如果⊙A与以BC为直径的⊙0相切,求⊙A的半径.
考点:切线的性质,解直角三角形
专题:
分析:(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D.构建等腰直角三角形ABD和直角△ACD.利用等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义求得AD=BD=4,CD=2,则易求△ABC的面积;
(2)如图,连接两圆圆心OA.设两圆相切于点E.在直角△AOD中利用勾股定理可以求得AO的长度,则AE=AO-OE=AO-
BC.或AE=AO+OE.
(2)如图,连接两圆圆心OA.设两圆相切于点E.在直角△AOD中利用勾股定理可以求得AO的长度,则AE=AO-OE=AO-
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2 |
解答:解:(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D.
∵在△ABC中,∠B=45°,
∴∠BAD=∠B=45°,
∴BD=AD.
∵cotC=
,
∴
=
=
,
∵BC=BD+CD=6,
∴AD=BD=4,CD=2,
∴S△ABC=
BC•AD=
×6×4=12,即△ABC的面积是12;
(2)设两圆相切于点E.
如图1,连接两圆圆心OA.
由(1)知,CD=2,AD=4.
∵OC=
BC=3,
∴OD=3-2=1,
∴在直角△AOD中,根据勾股定理知,AO=
=
=
,
∴AE=AO-OE=
-3,即⊙A的半径是
-3.
如图2,连接AE.
则⊙A的半径=AO+OE=
+3.
综上所述,⊙O的半径是
-3,或
+3.
∵在△ABC中,∠B=45°,
∴∠BAD=∠B=45°,
∴BD=AD.
∵cotC=
1 |
2 |
∴
CD |
AD |
CD |
BD |
1 |
2 |
∵BC=BD+CD=6,
∴AD=BD=4,CD=2,
∴S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)设两圆相切于点E.
如图1,连接两圆圆心OA.
由(1)知,CD=2,AD=4.
∵OC=
1 |
2 |
∴OD=3-2=1,
∴在直角△AOD中,根据勾股定理知,AO=
OD2+AD2 |
42+12 |
17 |
∴AE=AO-OE=
17 |
17 |
如图2,连接AE.
则⊙A的半径=AO+OE=
17 |
综上所述,⊙O的半径是
17 |
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点评:本题考查了勾股定理,相切两圆的性质.相切两圆的圆心距等于两圆半径之和.
练习册系列答案
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