题目内容
30、观察下列各式：13=12，13+23=（1+2）2，13+23+33=（1+2+3）2，13+23+33+43=（1+2+3+4）2…
（1）用含自然数n的等式表示上述各式的规律；
（2）利用你的结论计算：203+213+223+…+303．
（1）用含自然数n的等式表示上述各式的规律；
（2）利用你的结论计算：203+213+223+…+303．
分析：（1）观察已知的等式，发现：等式的左边是连续自然数的立方和，等式的右边是连续自然数的和的平方；
（2）根据（1）中发现的结论，即可求得13+23+33+…+303=（1+2+3+…+30）2，13+23+33+…+193=（1+2+3+…+19）2，进而求解．
（2）根据（1）中发现的结论，即可求得13+23+33+…+303=（1+2+3+…+30）2，13+23+33+…+193=（1+2+3+…+19）2，进而求解．
解答：解：（1）13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2；
（2）根据（1）的结论，得
13+23+33+…+303=（1+2+3+…+30）2，13+23+33+…+193=（1+2+3+…+19）2，
则203+213+223+…+303═（1+2+3+…+30）2-=（1+2+3+…+19）2=4652-1902=180125．
（2）根据（1）的结论，得
13+23+33+…+303=（1+2+3+…+30）2，13+23+33+…+193=（1+2+3+…+19）2，
则203+213+223+…+303═（1+2+3+…+30）2-=（1+2+3+…+19）2=4652-1902=180125．
点评：此题能够分别观察等式的左边和右边，正确找到左右两边之间的联系，并正确利用结论进行计算．
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