Question

30、观察下列各式：1³=1²，1³+2³=（1+2）²，1³+2³+3³=（1+2+3）²，1³+2³+3³+4³=（1+2+3+4）²…
（1）用含自然数n的等式表示上述各式的规律；
（2）利用你的结论计算：20³+21³+22³+…+30³．

Answer 1

分析：（1）观察已知的等式，发现：等式的左边是连续自然数的立方和，等式的右边是连续自然数的和的平方；
（2）根据（1）中发现的结论，即可求得1³+2³+3³+…+30³=（1+2+3+…+30）²，1³+2³+3³+…+19³=（1+2+3+…+19）²，进而求解．

解答：解：（1）1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²；

（2）根据（1）的结论，得
1³+2³+3³+…+30³=（1+2+3+…+30）²，1³+2³+3³+…+19³=（1+2+3+…+19）²，
则20³+21³+22³+…+30³═（1+2+3+…+30）²-=（1+2+3+…+19）²=465²-190²=180125．

点评：此题能够分别观察等式的左边和右边，正确找到左右两边之间的联系，并正确利用结论进行计算．