题目内容

【题目】1)如图(1),在ABC中,DBC边上的中点,DEDFDEAB于点EDFAC于点F,连接EF

求证:BE+CFEF

A=90°,探索线段BECFEF之间的数量关系,并加以证明;

2)如图(2),在四边形ABCD中,B+C=180°DB=DCBDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交ABACEF两点,连接EF,探索线段BECFEF之间的数量关系,并加以证明.

【答案】1见解析BE2+CF2=EF2证明见解析;(2EF= EB+CF,证明见解析

【解析】

试题分析:1如图(1)延长EDG,使DG=ED,连接CGFG,根据条件证明DCG≌△DBE,得DG=DECG=BE,易证FD垂直平分线段EG,则FG=FE,把问题转化到CFG中,运用三边关系比较大小;

结论:BE2+CF2=EF2.若A=90°,则B+C=90°,可证FCG=FCD+DCG=FCD+B=90°,在RtCFG中,由勾股定理探索线段BECFEF之间的数量关系;

2)如图(2),结论:EF=EB+FC.延长ABM,使BM=CF,根据条件证明BDM≌△CDF,则DM=DF,再证明DEM≌△DEF,从而得EF=EM=EB+BM=EB+CF

1证明:如图(1)延长EDG,使DG=ED,连接CGFG

DCGDBE中,

∴△DCG≌△DBESAS),

DG=DECG=BE

DEDF

FD垂直平分线段EG

FG=FE

CFG中,CG+CFFG,即BE+CFEF

结论:BE2+CF2=EF2

理由:∵∠A=90°

∴∠B+ACD=90°

FCG=FCD+DCG=FCD+B=90°

RtCFG中,由勾股定理,得CG2+CF2=FG2

BE2+CF2=EF2

2)如图(2),结论:EF=EB+FC

理由:延长ABM,使BM=CF

∵∠ABD+C=180°,又ABD+MBD=180°

∴∠MBD=C,而BD=CD

∴△BDM≌△CDF

DM=DFBDM=CDF

∴∠EDM=EDB+BDM=EDB+CDF=CDBEDF=120°﹣60°=60°=EDF

∴△DEM≌△DEF

EF=EM=EB+BM=EB+CF

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