题目内容
自我选做题一:
若不相等的两个正整数的和、差、积、商之和是一个完全平方数,则称这样的两个数为“智慧数”,如果这两个数均不超过100,求这样的“智慧数”有多少组?
若不相等的两个正整数的和、差、积、商之和是一个完全平方数,则称这样的两个数为“智慧数”,如果这两个数均不超过100,求这样的“智慧数”有多少组?
考点:完全平方数
专题:
分析:设这两个数分别为A、B,且B=XA(x为大于1的整数),表示出两个正整数的和、积、商之和,可得出推得X必是一完全平方数,即B是A的某完全平方数倍,在100范围内寻找即可.
解答:解:令B=XA (X>1的整数),
则两个正整数的和、积、商之和S=A+B+B-A+A×B+
=2XA+XA2+X=X(A+1)2,
∵这两个正整数的和、积、商之和是一个完全平方数,
∴X必是一完全平方数,即B是A的某完全平方数倍.
100以内1以上的完全平方数共9个:
4、9、16、25、36、49、64、81、100,
B是A的100、81、64倍的分别有1组:(1,100)、(1、81)、(1、64);
B是A的49倍的有2组:(1,49)、(2,98);
B是A的36倍的有2组:(1,36)、(2,72);
B是A的25倍的有[100/25]=4组,(1,25)、(2,50)、(3、75)、(4,100);
B是A的16倍的有[100/16]=6组,(1,16)、(2,32)、(3,48)、(4,64)、(5,80)、(6,96);
B是A的9倍的有[100/9]=11组;
4倍的有[100/4]=25组;
综上可得:共有3+2+2+4+6+11+25=53组.
即如果这两个数均不超过100,求这样的“智慧数”有53组.
注意([]表示取整计算).
则两个正整数的和、积、商之和S=A+B+B-A+A×B+
B |
A |
∵这两个正整数的和、积、商之和是一个完全平方数,
∴X必是一完全平方数,即B是A的某完全平方数倍.
100以内1以上的完全平方数共9个:
4、9、16、25、36、49、64、81、100,
B是A的100、81、64倍的分别有1组:(1,100)、(1、81)、(1、64);
B是A的49倍的有2组:(1,49)、(2,98);
B是A的36倍的有2组:(1,36)、(2,72);
B是A的25倍的有[100/25]=4组,(1,25)、(2,50)、(3、75)、(4,100);
B是A的16倍的有[100/16]=6组,(1,16)、(2,32)、(3,48)、(4,64)、(5,80)、(6,96);
B是A的9倍的有[100/9]=11组;
4倍的有[100/4]=25组;
综上可得:共有3+2+2+4+6+11+25=53组.
即如果这两个数均不超过100,求这样的“智慧数”有53组.
注意([]表示取整计算).
点评:本题考查了完全平方数的知识,解答本题关键是设出这两个数及这两个数的关系,难点在于得出X的值后计算每组符合题意的数量,注意分类讨论,此题难度较大.
练习册系列答案
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| ||
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