题目内容
【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点P为圆上一点,点C为AB延长线上一点,PA=PC,∠C=30°.
(1)求证:CP是⊙O的切线.
(2)若⊙O的直径为8,求阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)连接OP,由等腰三角形的性质得出∠C=∠OPA=30°,∠APC=120°,求出∠OPC=90°即可;
(2)证明△OBP是等边三角形,阴影部分的面积=扇形OBP的面积﹣△OBP的面积,即可得出结果.
试题解析:(1)证明:连接OP,如图所示:
∵PA=PC,∠C=30°,∴∠A=∠C=30°,∴∠APC=120°,∵OA=OP,∴∠OPA=∠A=30°,∴∠OPC=120°﹣30°=90°,即OP⊥CP,∴CP是⊙O的切线.
(2)解:∵AB是⊙O的直径,∴∠APB=90°,∴∠OBP=90°﹣∠A=60°,∵OP=OB=4,∴△OBP是等边三角形,∴阴影部分的面积=扇形OBP的面积﹣△OBP的面积==.
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