题目内容
【题目】如图,AB为⊙O的直径,AC,BC是⊙O的两条弦,过点C作∠BCD=∠A,CD交AB的延长线于点D.
(1)试说明:CD是⊙O的切线;
(2)若tanA=,求的值;
(3)在(2)的条件下,若AB=7,DE平分∠ADC交AC于点E,求ED的长.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
【解析】
(1)连接OC,由∠A=∠BCD=∠ACO且∠ACO+∠OCB=90°知∠BCD+∠OCB=90°,据此即可得证;
(2)先△ADC∽△CDB得==,得出,从而得出,进而可得出答案;
(3)由(2)得AB=7、BD=9、CD=12,证DE是∠ADC的平分线知==,然后通过勾股定理求出AC,BC的长度,然后证得∠A+∠EDA=∠DEC=45°,则△CDH为等腰直角三角形,由BCDH知∠CDH=∠BCD,据此得tan∠CDH==,继而得DH=CD=,DE=DH.
解:(1)如图,连接OC,
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∵∠A=∠BCD,
∴∠BCD=∠ACO,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠BCD+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,
,
∴CD是⊙O的切线.
(2)∵∠BCD=∠A,∠ADC=∠ADC,
∴△ADC∽△CDB,
.
∵tanA==,
∴,
,
,
∴.
(3)过点E作EM⊥AB于M,EN⊥DC交DC的延长线于N,过点D作DH⊥AC交AC延长线于点H,
,
.
,
设 ,
,
,
解得 ,
∴.
∵DE是∠ADC的平分线,EM⊥AB,EN⊥DC,
∴EM=EN,
∴==,
∴===,
∴EC.
∵∠BCD=∠A,∠EDA=∠EDC,且∠A+∠BCD+∠EDA+∠EDC=90°,
∴∠A+∠EDA=∠DEC=45°,
∴△DEH为等腰直角三角形,
∴DE=DH.
,
BCDH,
∴∠CDH=∠BCD,
∴tan∠CDH==,
∴DH=CD=12×=,
则DE=DH=.