题目内容

【题目】如图,AB为⊙O的直径,ACBC是⊙O的两条弦,过点C作∠BCD=∠ACDAB的延长线于点D

1)试说明:CD是⊙O的切线;

2)若tanA,求的值;

3)在(2)的条件下,若AB7DE平分∠ADCAC于点E,求ED的长.

【答案】1)证明见解析;(2;(3

【解析】

1)连接OC,由∠A=∠BCD=∠ACO且∠ACO+∠OCB90°知∠BCD+∠OCB90°,据此即可得证;

2)先ADC∽△CDB,得出,从而得出,进而可得出答案;

3)由(2)得AB7BD9CD12,证DE是∠ADC的平分线知,然后通过勾股定理求出AC,BC的长度,然后证得∠A+∠EDA=∠DEC45°,则CDH为等腰直角三角形,由BCDH知∠CDH=∠BCD,据此得tanCDH,继而得DHCDDEDH

解:(1)如图,连接OC

OAOC

∴∠A=∠ACO

∵∠A=∠BCD

∴∠BCD=∠ACO

AB是⊙O的直径,

∴∠ACB90°,即∠ACO+∠OCB90°

∴∠BCD+∠OCB90°,即∠OCD90°

CD是⊙O的切线.

2)∵∠BCD=∠A,∠ADC=∠ADC

∴△ADC∽△CDB

tanA

3)过点EEMABMENDCDC的延长线于N,过点DDHACAC延长线于点H

解得

DE是∠ADC的平分线,EMABENDC

EMEN

=

===

EC

∵∠BCD=∠A,∠EDA=∠EDC,且∠A+∠BCD+∠EDA+∠EDC90°

∴∠A+∠EDA=∠DEC45°

∴△DEH为等腰直角三角形,

DEDH

BCDH

∴∠CDH=∠BCD

tanCDH

DHCD12×

DEDH

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