如图1.点A为抛物线C1:y=12x2-2的顶点.点B的坐标为(1.0)直线AB交抛物线C1于另一点C(1)求点C的坐标,(2)如图1.平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D.交抛物线C1于点E.平行于y轴的直线x=a交直线AB于F.交抛物线C1于G.若FG:DE=4:3.求a的值,(3)如图2.将抛物线C1向下平移m个单位得到抛物线C2.且抛物线C2的顶点为点P.交x轴于点M.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

（2012•武汉）如图1，点A为抛物线C₁：y=

1

2

x²-2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C₁于另一点C
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C₁于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C₁于G，若FG：DE=4：3，求a的值；
（3）如图2，将抛物线C₁向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C₂，且抛物线C₂的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

分析：（1）已知抛物线C₁的解析式，易得顶点A的坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式，联立抛物线C₁的解析式后可求得C点坐标．
（2）将x=3代入直线AB、抛物线C₁的解析式中，先求出点D、E的坐标及DE的长，根据FG、DE的比例关系，可求出线段FG的长．同理，先用a表示线段FG的长，然后结合FG的长列出关于a的方程，由此求出a的值．
（3）根据二次函数的平移规律，先求出抛物线C₂的解析式和顶点P的坐标，联立直线AB的解析式可得到点N的坐标．结合N、Q、M三点坐标，易发现△MNQ是等腰直角三角形，过N作NH⊥y轴于H，设MN交y轴于T，那么△MOT、△NHT也是等腰直角三角形，由此求出OT、HT、PT的长；NP是∠MNQ的角平分线，且NQ∥y轴，能证得△NTP是等腰三角形，即NT=TP，由此求出P点的坐标，结合抛物线C₂的解析式，即可确定m的值．

解答：解：（1）∵当x=0时，y=-2；
∴A（0，-2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则：

-2=b

0=k+b

，
解得

k=2

b=-2

∴直线AB解析式为y=2x-2．
∵点C为直线y=2x-2与抛物线y=

1

2

x²-2的交点，则点C的横、纵坐标满足：

y=

1

2

x2-2

y=2x-2

，
解得

x1=4

y1=6

、

x2=0

y2=-2

（舍）
∴点C的坐标为（4，6）．

（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C₁于D、E两点．
∴y_D=4，y_E=

5

2

，
∴DE=

3

2

．
∵FG：DE=4：3，
∴FG=2．
∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C₁于F、G两点．
∴y_F=2a-2，y_G=

1

2

a²-2
∴FG=|2a-

1

2

a²|=2，
解得：a₁=2，a₂=2+2

2

，a₃=2-2

2

．

（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；

设点M的坐标为（t，0），抛物线C₂的解析式为y=

1

2

x²-2-m；
∴0=

1

2

t²-2-m，
∴-2-m=-

1

2

t²．
∴y=

1

2

x²-

1

2

t²，
∴点P坐标为（0，-

1

2

t²）．
∵点N是直线AB与抛物线y=

1

2

x²-

1

2

t²的交点，则点N的横、纵坐标满足：

y=

1

2

x2-

1

2

t2

y=2x-2

，
解得

x1=2-t

y1=2-2t

或

x2=2+t

y2=2+2t

（舍）．
∴N（2-t，2-2t）．
NQ=2-2t，MQ=2-2t，
∴MQ=NQ，
∴∠MNQ=45°．
∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，
∴MO=OT，HT=HN
∴OT=-t，NT=

2

（2-t），PT=-t+

1

2

t²．
∵PN平分∠MNQ，
∴∠MNP=∠PNQ，
∵NQ∥PT，
∴∠NPT=∠PNQ，
∴∠MNP=∠NPT，
∴PT=NT，
∴-t+

1

2

t²=

2

（2-t），
∴t₁=-2

2

，t₂=2（舍）
-2-m=-

1

2

t²=-

1

2

（-2

2

）²，
∴m=2．

点评：该二次函数综合题涉及到函数图象交点坐标的求法、等腰三角形的判定与性质等知识．（3）题的难度较大，找到特殊角是解题的关键．

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