题目内容
已知直线ln:y=-
x+
(n是正整数).当n=1时,直线l1:y=-2x+1与 x轴和y轴分别交于点A1和B1,设△A1OB1(O是平面直角坐标系的原点)的面积为s1;当n=2时,直线l2:y=-
x+
与x轴和y轴分别交于点A2和B2,设△A2OB2的面积为s2,…,依此类推,直线ln与x轴和y轴分别交于点An和Bn,设△AnOBn的面积为Sn.
(1)求△A1OB1的面积s1;
(2)求s1+s2+s3+…+s2011的值.
n+1 |
n |
1 |
n |
3 |
2 |
1 |
2 |
(1)求△A1OB1的面积s1;
(2)求s1+s2+s3+…+s2011的值.
分析:(1)令n=1,求出直线l1与y轴的交点,再根据三角形的面积公式进行解答;
(2)分别令n=1,n=2求出直线l1、l2与y轴的交点及直线与y轴所围成的三角形的面积,找出规律即可得出Sn的值.
(2)分别令n=1,n=2求出直线l1、l2与y轴的交点及直线与y轴所围成的三角形的面积,找出规律即可得出Sn的值.
解答:解:(1)当n=1时,直线l1:y=-2x+1与 x轴和y轴的交点是A1(
,0)和B1(0,1)
所以OA1=
,OB1=1,
∴s1=
;
(2)当n=2时,直线l2:y=-
x+
与 x轴和y轴的交点是A2(
,0)和B2(0,
)
所以OA2=
,OB2=
,
∴s2=
×
×
=
×(
-
)
当n=3时,直线l3:y3=-
x+
与 x轴和y轴的交点是A3(
,0)和B3(0,
)
所以OA3=
,OB3=
,
∴s3=
×
×
=
(
-
)
依此类推,sn=
(
-
)
∴s1+s2+s3+…+s2011=
(
+
-
+
-
+…+
-
)
∴s1+s2+s3+…+s2011=
(
+
-
)
=
×
=
.
1 |
2 |
所以OA1=
1 |
2 |
∴s1=
1 |
4 |
(2)当n=2时,直线l2:y=-
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
所以OA2=
1 |
3 |
1 |
2 |
∴s2=
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
当n=3时,直线l3:y3=-
4 |
3 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
3 |
所以OA3=
1 |
4 |
1 |
3 |
∴s3=
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
依此类推,sn=
1 |
2 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
∴s1+s2+s3+…+s2011=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
2011 |
1 |
2012 |
∴s1+s2+s3+…+s2011=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2012 |
=
1 |
2 |
2011 |
2012 |
=
2011 |
4024 |
点评:本题考查的是一次函数的性质及三角形的面积公式,根据题意分别求出S1、S2、S3的值是解答此题的关键.
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