题目内容
(2012•济宁)如图,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(4,0)、B(-2,0)两点,与y轴交于点C,点P是线段AB上一动点(端点除外),过点P作PD∥AC,交BC于点D,连接CP.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当动点P运动到何处时,BP2=BD•BC;
(3)当△PCD的面积最大时,求点P的坐标.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当动点P运动到何处时,BP2=BD•BC;
(3)当△PCD的面积最大时,求点P的坐标.
分析:(1)该抛物线的解析式中有两个待定系数,只需将点A、B的坐标代入解析式中求解即可.
(2)首先设出点P的坐标,由PD∥AC得到△BPD∽△BAC,通过比例线段可表示出BD的长;BC的长易得,根据题干给出的条件BP2=BD•BC即可求出点P的坐标.
(3)由于PD∥AC,根据相似三角形△BPD、△BAC的面积比,可表示出△BPD的面积;以BP为底,OC为高,易表示出△BPC的面积,△BPC、△BPD的面积差为△PDC的面积,通过所列二次函数的性质,即可确定点P的坐标.
(2)首先设出点P的坐标,由PD∥AC得到△BPD∽△BAC,通过比例线段可表示出BD的长;BC的长易得,根据题干给出的条件BP2=BD•BC即可求出点P的坐标.
(3)由于PD∥AC,根据相似三角形△BPD、△BAC的面积比,可表示出△BPD的面积;以BP为底,OC为高,易表示出△BPC的面积,△BPC、△BPD的面积差为△PDC的面积,通过所列二次函数的性质,即可确定点P的坐标.
解答:解:(1)由题意,得
,
解得
,
∴抛物线的解析式为y=
x2-x-4;
(2)设点P运动到点(x,0)时,有BP2=BD•BC,
令x=0时,则y=-4,
∴点C的坐标为(0,-4).
∵PD∥AC,
∴△BPD∽△BAC,
∴
=
.
∵BC=
=
=2
,
AB=6,BP=x-(-2)=x+2.
∴BD=
=
=
.
∵BP2=BD•BC,
∴(x+2)2=
×2
,
解得x1=
,x2=-2(-2不合题意,舍去),
∴点P的坐标是(
,0),即当点P运动到(
,0)时,BP2=BD•BC;
(3)∵△BPD∽△BAC,
∴
=(
)2,
∴S△BPD=(
)2•S△BAC= (
)2×
×6×4=
S△PDC=S△PBC-S△PBD=
×(x+2)×4-
= -
(x-1)2+3
∵-
<0,
∴当x=1时,S△PDC有最大值为3.
即点P的坐标为(1,0)时,△PDC的面积最大.
|
解得
|
∴抛物线的解析式为y=
1 |
2 |
(2)设点P运动到点(x,0)时,有BP2=BD•BC,
令x=0时,则y=-4,
∴点C的坐标为(0,-4).
∵PD∥AC,
∴△BPD∽△BAC,
∴
BD |
BC |
BP |
BA |
∵BC=
BO2+OC2 |
22+42 |
5 |
AB=6,BP=x-(-2)=x+2.
∴BD=
BP×BC |
BA |
2
| ||
6 |
| ||
3 |
∵BP2=BD•BC,
∴(x+2)2=
| ||
3 |
5 |
解得x1=
4 |
3 |
∴点P的坐标是(
4 |
3 |
4 |
3 |
(3)∵△BPD∽△BAC,
∴
S△BPD |
S△BAC |
BP |
AB |
∴S△BPD=(
BP |
AB |
x+2 |
6 |
1 |
2 |
(x+2)2 |
3 |
S△PDC=S△PBC-S△PBD=
1 |
2 |
(x+2)2 |
3 |
1 |
3 |
∵-
1 |
3 |
∴当x=1时,S△PDC有最大值为3.
即点P的坐标为(1,0)时,△PDC的面积最大.
点评:该题综合了相似三角形、图形面积的求法等知识,难度系数大,(3)题中,将所求三角形的面积进行适当的转化是解题的关键所在.
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