Question

24、（1）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有3个，在图2中，互不重叠的三角形共有5个，在图3中，互不重叠的三角形共有7个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有

2n+1

个．（用含n的代数式表示）

（2）若在如图4所示的n边形中，P是A₁A_n边上的点，分别连接PA₂、PA₃、PA₄…PA_n-1，得到n-1个互不重叠的三角形．

你能否根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式并说明你的理由；
（3）反之，若在四边形内部有n个不同的点，按照（1）中的方法可得k个互不重叠的三角形，试探究n与k的关系．

Answer 1

分析：（1）解决本题时，可以分别计算出n=3时，4时，5时，6时，各自对应的数值，看所得结果与n之间有什么关系，进而即可求出答案；
（2）、（3）基本思路是把多边形分成三角形的问题，通过三角形的内角和定理解决．

解答：解：（1）2n+1个．

（2）设n边形的内角和为k，则：
k=（n-1）×180°-180°
=（n-2）180°．

（3）又设在四边形内部有n个不同的点，且按（1）中的方法可得k个互不重叠的三角形，
而：四边形的内角和为360°，
∴360n+360°=k×180°，
则：2n+2=k．

点评：正确读懂题目，理解例题的基本思路是解决本题的关键．